Question

10．在平面直角坐标中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴分别交于点A（2，0）、点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，tan∠CBA=$\frac{1}{2}$．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将（1）中抛物线向下平移m个单位，点A、B、C平移后的位置分别为点A₁、B₁、C₁，若点D（10，5）满足∠C₁B₁D=90°，求平移后抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）求出A、B、C三点坐标即可解决问题．
（2）如图作DG⊥A₁B₁于G，延长B₁A₁交y轴于E．由△EB₁C₁∽△GDB₁，可得$\frac{E{C}_{1}}{G{B}_{1}}$=$\frac{E{B}_{1}}{DG}$，即$\frac{3}{4}$=$\frac{6}{DG}$，推出DG=8，推出B₁（6，-3），推出原来抛物线向下平移3个即可得到新的抛物线，延长即可解决问题．

解答 解：（1）∵C（0，3），
∴OC=3，
∵tan∠CBA=$\frac{1}{2}$，
∴OB=6，
∵A（2，0），B在A右边，
∴B（6，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-6），把（0，3）代入得到a=$\frac{1}{4}$，
∴y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3．

（2）如图作DG⊥A₁B₁于G，延长B₁A₁交y轴于E．
∵∠C₁B₁G=90°，
∴△EB₁C₁∽△GDB₁，
∴$\frac{E{C}_{1}}{G{B}_{1}}$=$\frac{E{B}_{1}}{DG}$，
∴$\frac{3}{4}$=$\frac{6}{DG}$，
∴DG=8，
∴B₁（6，-3），
∴原来抛物线向下平移3个即可得到新的抛物线，
∴新的抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-2x．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、平移变换、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．