Question

将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，它们的较短直角边长为3
（1）将△ECD沿直线l向左平移到图2的位置，使E点落在AB上，点C平移后的对应点为C₁，则CC₁=______；将△ECD绕点C逆时针旋转到图3的位置，使点E恰好落在AB上，则△ECD绕点C旋转的度数=______度；（本小题直接写出结果即可）
（2）将△ECD沿直线AC翻折到图4的位置，点D的对应点为D₁，ED₁与AB相交于点F，求证：AF=FD₁．

Answer 1

解：（1）∵EC=3，∠A=30°，
∴AC==3，
∴AE=3-3，
∴CC₁=EE₁=AE×tan30°=3-；
△ECD绕点C旋转的度数即∠ECE₂的度数；
∵∠ABC=60°，BC=CE₂=3，AB=6，
∴△E₂BC是等边三角形，
∴BC=E₂C=E₂B=3，
∴AE₂=E₂C=3，
∴∠E₂AC=∠E₂CA，
∴∠ECE₂=∠BAC=30°．
故答案为：3-，30；

（2）证明：在△AEF和△D₁BF中，
∵AE=AC-EC，D₁B=D₁C-BC，
又AC=D₁ C，EC=BC，∴AE=D₁ B．
∠D₁BF=∠AEF=180°-60°=120°，
在△AEF和△D₁BF中
∵，
∴△AEF≌△D₁BF（AAS）．
∴AF=F D₁．
分析：（1）根据题意：E₁是AB的中点，即BC₁=BC-CC₁，则CC₁=BC-BC₁，进而求出即可，△ECD绕点C旋转的度数即∠ECE₂的度数；易得：∠ECE₂=∠BAC=30°；
（2）根据条件，由AAS证明△AEF≌△D₁BF进而得出AF=FD₁．
点评：本题考查平移、旋转的性质；平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．