Question

7．如图，某人由西向东行走到点A，测得一个圆形花坛的圆心O在北偏东60°，他继续向东走了60米后到达点B，这时测得圆形花坛的圆心O在北偏东45°，已知圆形花坛的半径为51米，若沿AB的方向修一条笔直的小路（忽略小路的宽度），则此小路会通过圆形花坛吗？请说明理由．（参考数据$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{2}$≈1.41）

Answer 1

分析 过点O作OD⊥AB于D，在Rt△OBD和Rt△OAD中，根据三角函数AD，BD就可以OD表示出来，根据AB=60米，就得到一个关于OD的方程，求得OD．从而可以判断此小路是否会通过圆形花坛．

解答 解：此小路会通过圆形花坛．
理由：过点O作OD⊥AC，交AB延长线于D．
设OD为x米，在Rt△OBD中，
∠OBD=90°-45°=45°．
∴BD=OD=x米．
在Rt△OAD中，
∵∠OAD=90°-60°=30°
∴AD=$\frac{x}{tan30°}$=$\sqrt{3}$x，
∵AD=AB+BD，
∴$\sqrt{3}$x=60+x，
∴x=$\frac{60}{\sqrt{3}-1}$=30（$\sqrt{3}$+1）＞51，
∴此小路会通过圆形花坛．

点评 本题主要考查解直角三角形在实际问题中的应用，构造直角三角形是解题的前提和关键．