Question

18．如图，在等腰三角形ABC中AB=AC，AD⊥BC点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点P，BP=3，PE=1，求三角形BDP的面积．

Answer 1

分析 如图，作辅助线，构建△BCE的中位线，利用三角形中位线定理易求PG、AG的长度，并得EC=2DG，设DG=x，则EC=2x，利用同角的三角函数列式可求x的值，最后由三角形面积公式进行解答．

解答 解：如图，过D作DG⊥BE于G，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，即点D是BC的中点，
∵BE⊥AC，
∴DG∥AC，
∴BG=EG，
∴GD是△BCE的中位线，
∴DG=$\frac{1}{2}$CE．即CE=2DG，
∵BP=3，PE=1，
∴BE=3+1=4，
∴BG=$\frac{1}{2}$BE=2，
∴PG=3-2=1，
设DG=x，则EC=2x，
在△APE和△BPD中，∵∠BPD=∠APE，
∠BDP=∠AEP=90°，
∴∠DAC=∠DBP=∠GDP，
tan∠DBP=tan∠GDP=$\frac{EC}{BE}$，
∴$\frac{2x}{4}=\frac{1}{x}$，
x=$±\sqrt{2}$，
∴DG=$\sqrt{2}$，
∴S_△BDP=$\frac{1}{2}$GD•BP=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×3=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形三线合一的性质，三角函数，如果没学三角函数可利用证明△DGP∽△BEC列比例式得出面积．