Question

10．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x²+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．
（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．
（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．
（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．
（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将点A（1，1），C（0，2）代入抛物线解析式即可求出结论；
（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，点P、F关于抛物线的对称轴对称，由抛物线的顶点坐标即可得出抛物线的对称轴为x=1，结合点F的横坐标为0，即可得出m的值；
（3）由点P的横坐标为m，找出点P、F的坐标，由此即可得出PF、FD的长度，分0＜m＜1和1＜m＜2两种情况，根据矩形的周长公式即可得出L关于m的函数关系式；
（4）连接BD，由点B、D的坐标即可得出直线BD的函数解析式，联立直线BD与抛物线解析式成方程组，求出交点坐标，由此可分0＜m＜$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$、$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$≤m＜1、1＜m≤2以及m＞2四种情况考虑，结合正方形的性质以及等腰直角三角形的判定即可得出结论．

解答 解：（1）∵B（1，2），BC⊥y轴于C，
∴C（0，2），将点A（1，1），C（0，2）代入y=x²+bx+c中，
得到：b=-2，c=2．
∴抛物线所对应的函数表达式为：y=x²-2x+2；

（2）∵PE∥y轴，矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分，
∴P、F点关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线的顶点坐标为（1，1），
∴抛物线的对称轴为x=1．
∵F点的横坐标为0，
∴m=2；

（3）∵点P的横坐标为m，点P为第一象限内抛物线上的点且不与点A重合，
∴P（m，m²-2m+2）（m＞0，且m≠1）．
∵四边形ABCD为正方形，且A（1，1），
∴D（0，1），B（1，2），F（0，m²-2m+2），
∴PF=m，FD=m²-2m+2-1=m²-2m+1，
根据点P在点A的左右不同分两种情况（如图1）：
当0＜m＜1时，L=2×（PF+FD）=2×（m+m²-2m+1）=2m²-2m+2；
当1＜m＜2时，L=2×（AD+FD）=2×（1+m²-2m+1）=2m²-4m+4．

（4）连接BD，如图2所示．
设直线BD的解析式为y=kx+b，
将D（0，1）、B（1，2）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=x+1．
联立直线BD与抛物线解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}-2x+2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{5-\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{5+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$（舍去）．
当0＜m＜$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$时，若要△FDQ为等腰直角三角形，
只需FD=$\sqrt{2}$DQ=2PF，即m²-2m+1=2m，
解得：m=2-$\sqrt{3}$或m=2+$\sqrt{3}$（舍去），
∴∠FQD=90°，此时，△FDQ为等腰直角三角形；
当$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$≤m＜1时，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠FDQ=∠CDB=45°，
∵∠DFQ=90°，
∴△FDQ为等腰直角三角形；
当1＜m≤2时，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠FDQ=∠CDB=45°，
∵∠DFQ=90°，
∴△FDQ为等腰直角三角形；
当m＞2时，线段BD与矩形PFOE的边只有一个交点D，没有点Q，
∴不存在△FDQ．
综上可知：当△FDQ为等腰直角三角形时，m的取值范围为$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$≤m＜1和1＜m≤2或m=2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、矩形的性质、矩形的周长、正方形的性质以及等腰直角三角形的判定，正确的理解题意是解题的关键，