如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AB=3，DC=6，CB=5．点E是边DC上任意一点，点F在边AB的延长线上，并且AE=AF，连接EF，与边BC相交于点G．设BF=x，DE=y．
（1）直接写出边AD的长；
（2）求y关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）当点E在边DC上移动时，△BFG能否成为以BG为腰的等腰三角形？如果能，请求出线段BF的长；如果不能，请说明理由．

解：（1）∵过点B作BM⊥CD于M，
∵AB∥DC，∠D=90°，
∴∠D=∠ABM=∠BMD=90°，
∴四边形ADMB是矩形，
∴BM=AD，DM=AB=3，
∴CM=CD-DM=6-3=3，
在Rt△BMC中，
BM= $\text{[math]}$ =4，
∴AD=4；

（2）在Rt△ADE中，AE²=AD²+DE²，
∵BF=x，
∴AF=AB+BF=3+x，
∵AE=AF=3+x，DE=y，
∴（3+x）²=y²+16，
∴y= $\text{[math]}$ ，
当E与D重合，y=0，则x=AD-AB=1，
当E与C重合：AC= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴x=2 $\text{[math]}$ -3，
∴1≤x≤2 $\text{[math]}$ -3，
∴y关于x的函数关系式为y= $\text{[math]}$ ，自变量x的取值范围为1≤x≤2 $\text{[math]}$ -3；

（3）①若BG∥AE，
则 $\text{[math]}$ ，
∵AE=AF，
∴BF=BG，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵AB∥CD，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴EC=AB=3，
则DE=CD-EC=3，
∵AD=4，
∴AE=AF=5，
∴BF=AF-AB=2；
②若BG=GF，

过点G作GN⊥CD于N，
∵AB∥CD，
∴MN⊥AB，
∴四边形ADNM是矩形，
∴AM=DN，
∵BG=GF，AB∥CD，
∴EG=CG，
∴BM= $\text{[math]}$ BF= $\text{[math]}$ x，
EN= $\text{[math]}$ EC= $\text{[math]}$ （CD-DE）= $\text{[math]}$ ，
∴3+ $\text{[math]}$ =y+ $\text{[math]}$ ，
∴x=y，
∵（3+x）²=y²+16，
∴（3+x）²=x²+16，
解得：x= $\text{[math]}$ ．
综上，当BF=2或 $\text{[math]}$ 时，△BFG是以BG为腰的等腰三角形．
分析：（1）过点B作BM⊥CD于M，可得四边形ADMB是矩形，然后利用勾股定理，即可求得边AD的长；
（2）由AE=AF=AB+BF=3+x，又由DE=y，AD=4，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求得y关于x的函数关系式，当E与D重合时，x最小，当E与C重合时y最大；
（3）分别从BG=BF与BG=GF去分析求解，利用平行线分线段成比例与等腰三角形的性质，即可求得答案．
点评：此题考查了直角梯形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．

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24、如图1，在梯形ABCD中AD∥BC，对角线AC，BD交于点P，则s_△PAB=S_△PDC，请你用梯形对角线的这一特殊性质，解决下面问题．
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，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点．

（1）求等腰梯形DEFG的面积；
（2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）．
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探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．

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24、如图，已知：AD是△ABC中BC边的中线，则S_△ABD=S_△ACD，依据是

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规定；若一条直线l把一个图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线l叫做这个图形的等积直线．根据此定义，在图1中易知直线为△ABC的等积直线．
（1）如图2，在矩形ABCD中，直线l经过AD，BC边的中点M、N，请你判断直线l是否为该矩形的等积直线

是

（填“是”或“否”）．在图2中再画出一条该矩形的等积直线．（不必写作法）
（2）如图3，在梯形ABCD中，直线l经过上下底AD、BC边的中点M、N，请你判断直线l是否为该梯形的等积直线

是

（填“是”或“否”）．
（3）在图3中，过M、N的中点O任作一条直线PQ分别交AD，BC于点P、Q，如图4所示，猜想PQ是否为该梯形的等积直线？请说明理由．

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（2012•黑河）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN
（1）如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=

∠ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（2）如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN=

∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．

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（2013•乐山）阅读下列材料：
如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别在边AB，DC上，且MN∥AD，记AD=a，BC=b．若

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bm+an

m+n

．
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（1）若点P为线段EF的中点．求证：PP₁=PP₂+PP₃；
（2）若点P为线段EF上的任意位置时，试探究PP₁，PP₂，PP₃的数量关系，并给出证明．

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