Question

在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x²上的动点（点在第一象限内）．连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．
（1）如图1，当m=时，
①求线段OP的长和tan∠POM的值；
②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．
①用含m的代数式表示点Q的坐标；
②求证：四边形ODME是矩形．

Answer 1

解：（1）①把x=代入 y=x²，得 y=2，
∴P（，2），
∴OP=
∵PA丄x轴，
∴PA∥MO
∴tan∠P0M=tan∠OPA==．
②设 Q（n，n²），
∵tan∠QOB=tan∠POM，
∴．
∴n=
∴Q（，），
∴OQ=．
当OQ=OC时，则C₁（0，），C₂（0，）；
当OQ=CQ时，则C₃（0，1）．
综上所述，所求点C坐标为：C₁（0，），C₂（0，），C₃（0，1）．
（2）①∵P（m，m²），设 Q（n，n²），
∵△APO∽△BOQ，
∴
∴，得n=，
∴Q（，）．
②设直线PO的解析式为：y=kx+b，把P（m，m²）、Q（，）代入，得：

解得b=1，
∴M（0，1）
∴，∠QBO=∠MOA=90°，
∵△QBO∽△MOA
∴∠MAO=∠QOB，
∴QO∥MA
同理可证：EM∥OD
又∵∠EOD=90°，
∴四边形ODME是矩形．