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    已知M、N为双曲线y=
    4
    x
    （x＞0）上的两点，且其横坐标分别为a、a+2，分别过M、N作y轴、x轴的垂线，相交于点B，垂足分别为点C、A，连接OM、ON、MN，把△OMN的面积与△BMN的面积分别记为S△OMN、S△BMN．
    （1）若矩形OABC的面积为12，求a的值，并求出此时的S△OMN：S△BMN；
    （2）随着a的取值不同，M，N两点不断运动，当M为BC边中点时，a=
     
    ，此时S△OMN：S△BMN=
     
    ；
    （3）结合（1）、（2）的计算结果，试猜想S△OMN：S△BMN的值（用含a的式子表示），并说明理由．
    考点：反比例函数综合题,分式的混合运算,解分式方程,反比例函数图象上点的坐标特征,矩形的性质
    专题：探究型
    分析：（1）由M、N在双曲线y=
    4
    x
    上，且xM=a，xN=a+2，可得yM=
    4
    a
    ，yN=
    4
    a+2
    ，从而得到OC=
    4
    a
    ，OA=a+2，由矩形OABC的面积为12即可求出a的值，就可求出线段CM、OC、OA、AN、BN、BM的长，从而求出S△OMN、S△BMN的值，进而求出S△OMN：S△BMN的值．
    （2）当M为BC边中点时，易求出a的值，就可求出线段CM、OC、OA、AN、BN、BM的长，从而求出S△OMN、S△BMN的值，进而求出S△OMN：S△BMN的值．
    （3）结合（1）、（2）的计算结果，可猜想S△OMN：S△BMN的值为a+1．先用a的代数式表示线段CM、OC、OA、AN、BN、BM的长，然后用a的代数式表示S△OMN、S△BMN的值，就可求出S△OMN：S△BMN的值．
    解答：解：（1）∵M、N在双曲线y=
    4
    x
    上，xM=a，xN=a+2，
    ∴yM=
    4
    a
    ，yN=
    4
    a+2
    ．
    ∴CM=a，OC=
    4
    a
    ，OA=a+2，AN=
    4
    a+2
    ．
    ∵S矩形OABC=OA•OC=12，
    ∴（a+2）•
    4
    a
    =12．
    解得：a=1．
    经检验：a=1是方程的解．
    ∴a的值为1．
    ∴CM=1，OC=4，OA=3，AN=
    4
    3
    ．
    ∵四边形OABC是矩形，
    ∴AB=OC=4，BC=OA=3．
    ∴BM=2，BN=
    8
    3
    ．
    ∴S△BMN=
    1
    2
    BM•BN=
    1
    2
    ×2×
    8
    3
    =
    8
    3
    ．
    ∵S△OCM=
    1
    2
    CM•OC=
    1
    2
    ×1×4=2，
    S△OAN=
    1
    2
    OA•AN=
    1
    2
    ×3×
    4
    3
    =2，
    ∴S△OMN=S矩形OABC-S△BMN-S△OCM-S△OAN
    =12-
    8
    3
    -2-2=
    16
    3
    ．
    ∴S△OMN：S△BMN=
    16
    3
    ：
    8
    3
    =2．

    （2）当M为BC边中点时，CM=BM．
    ∴a=a+2-a=2．
    ∴CM=2，OC=2，OA=4，AN=1．
    ∵四边形OABC是矩形，
    ∴AB=OC=2，BC=OA=4．
    ∴BM=2，BN=1．
    ∴S△BMN=
    1
    2
    BM•BN=
    1
    2
    ×2×1=1．
    ∵S△OCM=
    1
    2
    CM•OC=
    1
    2
    ×2×2=2，
    S△OAN=
    1
    2
    OA•AN=
    1
    2
    ×4×1=2，
    S矩形OABC=OA•OC=4×2=8，
    ∴S△OMN=S矩形OABC-S△BMN-S△OCM-S△OAN
    =8-1-2-2=3．
    ∴S△OMN：S△BMN=3：1=3．
    故答案为：2、3．

    （3）猜想：S△OMN：S△BMN的值为a+1．
    证明：∵四边形OABC是矩形，OC=
    4
    a
    ，OA=a+2，
    ∴AB=OC=
    4
    a
    ，BC=OA=a+2．
    ∵CM=a，AN=
    4
    a+2
    ，
    ∴BM=a+2-a=2，BN=
    4
    a
    -
    4
    a+2
    =
    8
    a(a+2)
    ．
    ∴S△BMN=
    1
    2
    BM•BN=
    1
    2
    ×2×
    8
    a(a+2)
    =
    8
    a(a+2)
    ．
    ∵S△OCM=
    1
    2
    CM•OC=
    1
    2
    ×a×
    4
    a
    =2，
    S△OAN=
    1
    2
    OA•AN=
    1
    2
    ×（a+2）×
    4
    a+2
    =2，
    S矩形OABC=OA•OC=（a+2）×
    4
    a
    =
    4a+8
    a
    ．
    ∴S△OMN=S矩形OABC-S△BMN-S△OCM-S△OAN
    =
    4a+8
    a
    -
    8
    a(a+2)
    -2-2
    =4+
    8
    a
    -
    8
    a(a+2)
    -4
    =
    8
    a
    -
    8
    a(a+2)

    =
    8a+8
    a(a+2)
    ．
    ∴S△OMN：S△BMN=
    8a+8
    a(a+2)
    ：
    8
    a(a+2)
    =a+1．
    点评：本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、分式的运算、解分式方程等知识，考查了用割补法求不规则图形的面积，本题让学生经历尝试、归纳、猜想、证明等科学探究过程，是一道好题．
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    计算：
    364
    -|
    		3
    -3|+
    		36
    ．

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    ，
     
    ）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，直线y=x-4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=
    1
    3
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    解方程组或不等式（组） 
    ①
    6x+3y=3
    2y-5x=-7
    ；
    ②解不等式组
    5x-9＜3(x-1)
    1-
    3
    2
    x≤
    1
    2
    x-1
    ，并写出它的整数解．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（-1，
    5
    4
    ），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
    （1）求该二次函数的解析式．
    （2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在-1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由）
    （3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．
    （注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）
    附：阅读材料
       任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．
       即：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，
       则：x1+x2=-
    b
    a
    ，x1•x2=
    c
    a

       能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．
       例：不解方程，求方程x2-3x=15两根的和与积．
       解：原方程变为：x2-3x-15=0
    ∵一元二次方程的根与系数有关系：x1+x2=-
    b
    a
    ，x1•x2=
    c
    a

    ∴原方程两根之和=-
    -3
    1
    =3，两根之积=
    -15
    1
    =-15．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    x，y为实数，且满足
    		x-1
    +（3x+y-1）2=0，则
    		5x+y2
    =
     
    ．

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