Question

已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（-1，

5

4

），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在-1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由）
（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．
（注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）
附：阅读材料
   任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．
   即：设一元二次方程ax²+bx+c=0的两根为x₁，x₂，
   则：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

   能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．
   例：不解方程，求方程x²-3x=15两根的和与积．
   解：原方程变为：x²-3x-15=0
∵一元二次方程的根与系数有关系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

∴原方程两根之和=-

-3

1

=3，两根之积=

-15

1

=-15．

Answer 1

考点：二次函数综合题,完全平方公式,根与系数的关系,待定系数法求一次函数解析式,二次函数的图象,待定系数法求二次函数解析式,三角形的内切圆与内心

专题：代数几何综合题,阅读型

分析：（1）设二次函数解析式为y=ax²+1，由于点（-1，

5

4

）在二次函数图象上，把该点的坐标代入y=ax²+1，即可求出a，从而求出二次函数的解析式．
（2）先分别求出x=-1，x=0，x=3时y的值，然后结合图象就可得到y的取值范围．
（3）过点A作y轴的对称点A′，连接BA′并延长，交y轴于点G，连接AG，如图2，则点A′必在抛物线上，且∠AGP=∠BGP，由此可得△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．由于点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在直线y=kx+2上，从而可以得到点A的坐标为（x₁，kx₁+2）、A′的坐标为（-x₁，kx₁+2）、B的坐标为（x₂，kx₂+2）．设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．由于点A′（-x₁，kx₁+2）、B（x₂，kx₂+2）在直线BG上，可用含有k、x₁、x₂的代数式表示n．由于A、B是直线y=kx+2与抛物线y=

1

4

x²+1的交点，由根与系数的关系可得：x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．从而求出n=0，即可证出：在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．由S_△ABG=S_△APG+S_△BPG，可以得到S_△ABG=x₂-x₁=

(x2+x1)2-4x1x2

=4

k2+1

，所以当k=0时，S_△ABG最小，最小值为4．

解答：（1）解：由于二次函数图象的顶点坐标为（0，1），
因此二次函数的解析式可设为y=ax²+1．
∵抛物线y=ax²+1过点（-1，

5

4

），
∴

5

4

=a+1．
解得：a=

1

4

．
∴二次函数的解析式为：y=

1

4

x²+1．

（2）解：当x=-1时，y=

5

4

，
当x=0时，y=1，
当x=3时，y=

1

4

×3²+1=

13

4

，
结合图1可得：当-1＜x＜3时，y的取值范围是1≤y＜

13

4

．

（3）①证明：过点A作y轴的对称点A′，连接BA′并延长，交y轴于点G，连接AG，如图2，
则点A′必在抛物线上，且∠AGP=∠BGP，
∴△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．
∵点A的坐标为（x₁，y₁），
∴点A′的坐标为（-x₁，y₁）．
∵点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在直线y=kx+2上，
∴y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2．
∴点A′的坐标为（-x₁，kx₁+2）、点B的坐标为（x₂，kx₂+2）．
设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．
∵点A′（-x₁，kx₁+2）、B（x₂，kx₂+2）在直线BG上，
∴

-x1m+n=kx1+2 x2m+n=kx2+2

．
解得：

m= k(x2-x1) x2+x1 n= 2kx1x2 x2+x1 +2

．
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是直线y=kx+2与抛物线y=

1

4

x²+1的交点，
∴x₁、x₂是方程kx+2=

1

4

x²+1即x²-4kx-4=0的两个实数根．
∴由根与系数的关系可得；x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．
∴n=

2k×(-4)

4k

+2=-2+2=0．
∴点G的坐标为（0，0）．
∴在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．
②解：过点A作AC⊥OP，垂足为C，过点B作BD⊥OP，垂足为D，如图2，
∵直线y=kx+2与y轴相交于点P，
∴点P的坐标为（0，2）．
∴PG=2．
∴S_△ABG=S_△APG+S_△BPG
=

1

2

PG•AC+

1

2

PG•BD
=

1

2

PG•（AC+BD）
=

1

2

×2×（-x₁+x₂）
=x₂-x₁
=

(x2+x1)2-4x1x2

=

(4k)2-4×(-4)

=

16(k2+1)

=4

k2+1

．
∴当k=0时，S_△ABG最小，最小值为4．
∴△GAB面积的最小值为4．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、二次函数的图象、三角形的内切圆、根与系数的关系、完全平方公式等知识，综合性比较强，有一定的难度．