Question

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG．
（1）求证：AF⊥DE；
（2）求证：CG=CD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,直角三角形的性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：（1）正方形ABCD中，AB=BC，BF=AE，且∠ABF=∠DAE=90°，即可证明△ABF≌△DAE，即可得∠DGA=90°，结论成立．
（2）延长AF交DC延长线于M，证明△ABF≌△MCF，说明△DGM是直角三角形，命题得证．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD为正方形
∴AB=BC=CD=AD，∠ABF=∠DAE=90°，
又∵E，F分别是边AB．BC的中点
∴AE=

1

2

AB．BF=

1

2

BC
∴AE=BF．
在△ABF与△DAE中，

DA=AB ∠DAE=∠ABF AE=BF

，
∴△DAE≌△ABF（SAS）．
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠BAF+∠DAG=90°，
∴∠ADG+∠DAG=90°，
∴∠DGA=90°，即AF⊥DE．

（2）证明：延长AF交DC延长线于M，
∵F为BC中点，
∴CF=FB
又∵DM∥AB，
∴∠M=∠FAB．
在△ABF与△MCF中，

∠M=∠FAB ∠CFM=∠BFA CF=FB

，
∴△ABF≌△MCF（AAS），
∴AB=CM．
∴AB=CD=CM，
∵△DGM是直角三角形，
∴GC=

1

2

DM=DC．

点评：本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，考查了全等三角形的判定和全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证△ABF≌△BCE和△ABF≌△MCF是解题的关键．