Question

如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O，点H是EF的中点，连接OH．
（1）求证：AB=DC；
（2）试判断OH与EF存在怎样的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由BE=CF，等式左右两边都加上EF，根据图形得到BF=CE，再由已知的两对角相等，利用AAS可得出三角形ABF与三角形DCE全等，由全等三角形的对应边相等可得出AB=DC，得证；
（2）OH与EF垂直，理由为：由三角形ABF与三角形DCE全等，得到一对角相等，再由等角对等边得到OE=OF，根据H为EF的中点，利用三线合一得到OH垂直于EF．

解答：（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
∵

∠A=∠D ∠B=∠C BF=CE

，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB=DC；

（2）解：OH⊥EF，理由为：
∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，又H为EF的中点，
∴OH⊥EF．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．