Question

如图，已知AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M．以下结论：
①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C_△BCD=AB+BC；④△ADM≌△BCD．
正确的有

1. A.
   ①②
2. B.
   ①③
3. C.
   ②③
4. D.
   ③④

Answer 1

B
分析：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理由AB=AC，∠A=36°可得到∠B=∠ACB=72°，再根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质有∠ACD=∠A=36°，可计算出∠BCD=72°-36°=36°，∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°，则CB=CD，可对①进行判断；根据三角形的角平分线的定义可对②进行判断；根据DA=DC和
三角形周长的定义可得到△BCD的周长C_△BCD=DB+DC+BC=DB+DA+BC=AB+BC，则可对③进行判断；由于△ADM为直角三角形，而△BCD为顶角为36°的等腰三角形，
可对④进行判断．
解答：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∵AC的垂直平分线MN交AB于D，
∴DA=DC，
∴∠ACD=∠A=36°，
∴∠BCD=72°-36°=36°，
∴∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°，
∴CB=CD，
∴△BCD是等腰三角形，所以①正确；
∵∠BCD=36°，∠ACD=36°，
∴CD平分∠ACB，
∴线段CD为△ACB的角平分线，所以②错误；
∵DA=DC，
∴△BCD的周长C_△BCD=DB+DC+BC=DB+DA+BC=AB+BC，所以③正确；
∵△ADM为直角三角形，而△BCD为顶角为36°的等腰三角形，
∴△ADM不等全等于△BCD，所以④错误．
故选C．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．