Question

（2013•鞍山一模）如图，在平面直角着坐标系中，一次函数y=

3

x+3

3

的图象与x轴交与点A，与y轴交与点B，点C为x轴上一点，且满足AB=BC．
（1）求点C的点坐标．
（2）若点P是线段BC延长线上一动点，连接AP，作线段AP的垂直平分线，交AP于点D，交y轴于点E，连接EA，EP，EC，EC交AP于点F．
①点P在移动过程中，∠AEP的角度是否发生变化？为什么？
②若S_△AEF-S_△CFP=2

3

，求直线AP的解析式．

Answer 1

分析：（1）由一次函数y=

3

x+3

3

就可以求出A的坐标，根据等腰三角形的性质就可以求出OA=OC，就可以求出C的坐标；
（2）如图1，作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于N，证明Rt△AME≌Rt△PNE就可以得出∠AEM=∠PEN，根据四边形的内角和就可以求出∠MEN的度数，进而求出∠AEP的度数；
（3）如图2，作PC⊥x轴于点G，在Rt△PGC中，PC=t，CG=

1

2

，PG=

3

2

t，由勾股定理就可以求出BE的值，进而求出OE，运用三角形的面积建立等式求出P的坐标，由待定系数法就可以求出结论．

解答：解：（1）如图1∵一次函数数y=

3

x+3

3

的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
当y=时，x=-3，当x=0时，y=3

3

，
∴A（-3，0），B（0，3 ）
∴OA=3．
∵AB=BC，
∴OA=OC=3，
∴C（3，0）．
答：C点的坐标为（3，0）；
（2）①∠AEP=120°
理由：∵y轴⊥AC，OA=OC．
∴AB=BC
在Rt△AOB中，tan∠BAO=

BO

AO

=

3

，
∴∠BAC=60°
∴△ABC是等边三角形；
∴AC=BC=AB=6．
如图1，作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于N，
∴∠AME=∠PNE=90°．
∴∠MEN=120°
∵y轴垂直平分AC，△ABC是等边三角形，
∴EA=EC，∠BEA=∠BEC=

1

2

∠AEC，∠EBP=30°，
∴EM=EN．
∴∠BEM=60°．
∵ED垂直平分AP，
∴EA=EP，
∴EA=EC=EP，
∴EN垂直平分CP，
∴CN=

1

2

PC．
在Rt△AME和Rt△PNE中，

AE=AP EM=EN

，
∴Rt△AME≌Rt△PNE（HL），
∴∠AEM=∠PEN．
∵∠AEM+∠AEN=120°，
∴∠PEN+∠AEN=∠AEP=120°
（3）如图2，作PC⊥x轴于点G，
在Rt△PGC中，PC=t，CG=

1

2

，PG=

3

2

t，
∴CH=

1

2

t，BH=6+

1

2

t．
在Rt△BEH 中，

EH

BH

=

3

3

∴

EH

6+ 1 2 t

=

3

3

，
∴EH=

3

3

（6+

1

2

t），
由勾股定理，得
BE=

3

3

t+4

3

，
EO=BE-BO=

3

3

t+

3

．
∵S_△AEF-S_△CFP=2

3

，
∴S_△AEF+S_△AFC-（S_△CFP+S_△AFC）=2

3

∴S_△EAC-S_△PAC=2

3

．
∵S_△EAC=

1

2

AC•EO=

1

2

×6×（

3

3

t+

3

）=

3

t+3

3

，
S_△PAC=

1

2

AC•PG=

1

2

×6×

3

2

t=

3 3

2

t，
∴

3

t+3

3

-

3 3

2

t=2

3

，
∴t=2．
∴PG=

3

，CG=1，
∴OG=4，
∴P（4，-

3

）．
设直线AP的解析式为y=kx+b，由题意，得

0=-3k+b - 3 =4k+b

，
解得：

k=- 3 7 b=- 3 3 7

，
∴直线AP的解析式为：y=-

3

7

x-

3 3

7

．

点评：本题考查了一次函数的解析式的性质的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，特殊角的三角形函数值的运用，解答时巧妙运用三角形的面积之间的等量关系建立方程求出点P的坐标是关键．