Question

在平面直角坐标系xOy中，边长为5的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．
（1）当点坐标为A（4，0）时，求点D的坐标；
（2）求证：OP平分∠AOB；
（3）直接写出OP长的取值范围（不要证明）．

Answer 1

解：（1）作DM⊥x轴于点M，
∴∠AMD=90°．
∵∠AOB=90°，
∴∠AMD=∠AOB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠OAB+∠DAM=90°．
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠DAM=∠OBA．
在△DMA和△AOB中，
，
∴△DMA≌△AOB，
∴AM=OB，DM=AO．
∵A（4，0），
∴OA=4，
∵AB=5，在Rt△AOB中由勾股定理得：
OB==3．
∴AM=3，MD=4，
∴OM=7．
∴D（7，4）；
（2）证明：作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点
∵∠BPE+∠EPA=90°，∠EPB+∠FPB=90°，
∴∠FPB=∠EPA，
∵∠PFB=∠PEA，BP=AP，
∴△PBF≌△PAE，
∴PE=PF，
∴点P都在∠AOB的平分线上．
（3）作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点，则PE=h，设∠APE=α．
在直角△APE中，∠AEP=90°，PA=．
∴PE=PA•cosα=cosa．
∵顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），
∴0°≤α＜45°，
∴＜cosa≤1．
∴＜PE≤，．
∵OP=PE，
∴＜OP≤5．
分析：（1）作DM⊥x轴于点M，由A（4，0）可以得出OA=4，由勾股定理就可以求出OB=3，再通过证明△AOB≌△DMA就可以求出AM=OB，DM=OA，从而求出点D的坐标．
（2）过P点作x轴和y轴的垂线，可通过三角形全等，证明OP是角平分线．
（3）因为OP是∠AOB的平分线上，就有∠POA=45°，就有OP=PE，在Rt△APE中运用三角函数就可以表示出PE的范围，从而可以求出OP的取值范围．．
点评：本题考查了正方形的性质（四边相等，四角相等，对角线互相垂直平分，且平分每一组对角）以及坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理的运用，锐角三角函数的运用．