Question

在平面直角坐标系xOy中，直线 y=x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求∠BAO的度数；
（2）如图1，P为线段AB上一点，在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD．点Q在AD上，连接PQ，过作射线PF⊥PQ交x轴于点F，作PG⊥x轴于点G．求证：PF=PQ；
（3）如图2，E为线段AB上一点，在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED．若P为线段EB的中点，连接PD、PO，猜想线段PD、PO有怎样的关系？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函数解析式求出A、B的坐标，从而得出OA、OB的长，判断出△AOB为等腰直角三角形，据此即可得到∠BAO的度数；
（2）根据三角形APD为等腰直角三角形，中PG⊥x轴于G，判断出DP⊥AD，结合（1）可得∠BAO=45°．
从而∠BAO=∠1，再根据PG⊥x轴于G，得到PG=PD，再根据∠3+∠GPQ=90°，∠2+∠GPQ=90°求出∠2=∠3，从而而判断出△PGF≌△PDQ，可知PF=PQ．
（3）先证出△PBH≌△PED得到∠3=∠4，从而得到BH∥ED，再证出△DAO≌△HBO，得到OD=OH，∠5=∠6，然后在等腰直角三角形△DOH中，∠ODP=∠7，得到OP=PD．

解答：PD解：（1）直线y=x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．

∴A（-6，0），B（0，6）．
∴OA=OB．
∴∠BAO=∠ABO
在△AOB中，∠AOB=90°．
∴∠BAO=∠ABO=45°． 
（2）在等腰直角三角形APD中，∠PDA=90°，DA=DP，∠1=∠APD=45°．
∴DP⊥AD于D．
由（1）可得∠BAO=45°．
∴∠BAO=∠1．
又∵PG⊥x轴于G，
∴PG=PD．
∴∠AGP=∠PGF=∠D=90°．
∴∠4=∠BAO=45°．
∴∠4+∠APD=∠DPG=90°．
即∠3+∠GPQ=90°．
又∵PQ⊥PF，
∴∠2+∠GPQ=90°．
∴∠2=∠3．
在△PGF和△PDQ中，

∠PGF=∠D PG=PD ∠2=∠3

∴△PGF≌△PDQ（ASA）．
∴PF=PQ．
（3）答：OP⊥DP，OP=DP．
证明：延长DP至H，使得PH=PD．
∵P为BE的中点，
∴PB=PE．
在△PBH和△PED中，

PB=PE ∠1=∠2 PH=PD

，
∴△PBH≌△PED（SAS）．
∴BH=ED． 
∴∠3=∠4．
∴BH∥ED．
在等腰直角三角形ADE中，
AD=ED，∠DAE=∠DEA=45°．
∴AD=BH，∠DAE+∠BAO=∠DAO=90°．
∴DE∥x轴，BH∥x轴，BH⊥y轴．
∴∠DAO=∠HBO=90°．
由（1）可得 OA=OB．
在△DAO和△HBO中，

AD=BH ∠DAO=∠HBO OA=OB

，
∴△DAO≌△HBO（SAS）．
∴OD=OH，∠5=∠6． 
∵∠AOB=∠5+∠DOB=90°，
∴∠DOH=∠6+∠DOB=90°．
∴在等腰直角三角形△DOH中，
∵DP=HP，
∴OP⊥DP，∠7=

1

2

∠DOH=45°．
∴∠ODP=∠7．
∴OP=PD．

点评：本题考查了一次函数的图象和性质，涉及全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，难度较大．