Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC=90°．AB=2，CD=3，AD=7．在腰AD上是否存在点P．使△ABP与△DCP相似？如果存在，试求出AP的长；如果不存在，试说明理由．

Answer 1

解：∵在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC=90°，
∴∠DAB=∠ADC=90°，
若，则△ABP∽△DCP，
∵AB=2，CD=3，
∴PA：PD=2：3，
∵AD=7，
∴AP=AD=；
若，则△ABP∽△DPC，
∵AB=2，CD=3，
∴PA•PD=6，
∵AD=PA+PD=7，
设PA=x，则PD=7-x，
∴x（7-x）=6，
即x²-7x+6=0，
解得：x₁=1，x₂=6，
即PA=1或6；
∴AP的长为：或1或6．
分析：由在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC=90°，可得∠DAB=∠ADC=90°，然后分别从若，则△ABP∽△DCP与若，则△ABP∽△DPC去分析求解即可求得答案，小心别漏解．
点评：此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用．