Question

在平面直角坐标系xOy中，二次函数y₁=mx²-（2m+3）x+m+3与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（其中m＞0）．
（1）求：点A、点B的坐标（含m的式子表示）；
（2）若OB=4•AO，点D是线段OC（不与点O、点C重合）上一动点，在线段OD的右侧作正方形ODEF，连接CE、BE，设线段OD=t，△CEB的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

解：（1）二次函数y₁=mx²-（2m+3）x+m+3中，令y=0，得：
0=mx²-（2m+3）x+m+3，
解得：x₁=1，x₂=；
∴A（1，0）、B（，0）．

（2）由（1）知：OB=，OA=1，已知 OB=4•OA，得：
=4，解得：m=1；
在Rt△OBC中，OB=OC=4，所以∠OBC=45°；
①当0＜t＜2时，如图①；
由于四边形ODEF是正方形，所以OF=EF=t，BF=OB-OF=4-t；
∴GF=BF=4-t，GE=GF-EF=4-t-t=4-2t；
∴S=GE•OB=8-4t；
②当2＜t＜4时，如图②；
同①可得：GE=2t-4；
S=GE•OB=4t-8；
综上，得：
当0＜t＜2时，S=8-4t；
当2＜t＜4时，S=4t-8．
分析：（1）抛物线的解析式中，令y=0，通过解方程即可得到A、B点的坐标．
（2）根据（1）的结果能得到OA、OB的长，结合OB=4OA的条件能求出m的值．若设直线EF与线段BC的交点为G，那么以EG为底、OB为高能求出S与t的函数关系式，在表达EG长时，要注意t的取值范围．
点评：题目主要考查的是二次函数以及图形的面积问题；（2）题在解答时一定要注意自变量的取值范围，图形动点问题通常要找出关键“点”，然后再确定对应的分段函数，如此题，当点E在线段BC上时，就是该题的一个关键“点”．