Question

已知抛物线y=（k-1）x²+2kx+k-2与x轴有两个不同的交点．
（1）若点（1，5）在此抛物线上，求此抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，直接写出当y＜0时，x的取值范围；
（3）若此抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵点（1，5）在此抛物线上，
∴k-1+2k+k-2=5，
解得k=2，
∴抛物线解析式为y=x²+4x；
（2）∵y=x²+4x，令y=0，
∴0=x²+4x，
解得：x=0或4，
∴抛物线和x轴交点的横坐标是0或4，
∵a=1＞0，
∴当x＜-4或x＞0时，y＜0．
（3）∵抛物线y=（k-1）x²+2kx+k-2与x轴有两个不同的交点
∴b²-4ac＞0，
k-1≠0
解得k＞且k≠1．
分析：（1）把点（1，5）代入即可求出k的值，进而求出此抛物线的解析式；
（2）由（1）可知抛物线的解析式，令y=0即可求出抛物线和x轴交点的横坐标，进而求出出当y＜0时，x的取值范围；
（3）若此抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＞0，进而求出k的取值范围．
点评：本题考查了求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标和二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系．△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．