Question

10．如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．
（1）求证：AN=MB；
（2）求证：△CEF为等边三角形；
（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其它条件不变，在图②中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．

Answer 1

分析 （1）可通过全等三角形来得出简单的线段相等，证明AN=BM，只要求出三角形ACN和MCB全等即可，这两个三角形中，已知的条件有AC=MC，NC=CB，只要证明这两组对应边的夹角相等即可，我们发现∠ACN和∠MCB都是等边三角形的外角，因此它们都是120°，这样就能得出两三角形全等了．也就证出了AN=BM．
（2）我们不难发现∠ECF=180-60-60=60°，因此只要我们再证得两条边相等即可得出三角形ECF是等边三角形，可从EC，CF入手，由（1）的全等三角形我们知道，∠MAC=∠BMC，又知道了AC=MC，∠MCF=∠ACE=60°，那么此时三角形AEC≌三角形MCF，可得出CF=CE，于是我们再根据∠ECF=60°，便可得出三角形ECF是等边三角形的结论．
（3）通过证明三角形ACN和BCM来求得．这两个三角形中MC=AC，NC=BC，∠MCB和∠ACN都是60°+∠ACB，因此两三角形就全等，AN=BM，结论1正确．

解答 证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°．
在△CAN和△MCB中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=MC}\\{∠ACN=∠MCB}\\{NC=BC}\end{array}\right.$，
∴△CAN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．
（2）∵△CAN≌△MCB，
∴∠CAN=∠CMB．
∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=60°．
∴∠MCF=∠ACE．
在△CAE和△CMF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠CMF}\\{CA=CM}\\{∠ACE=MCF}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△CMF（ASA）
∴CE=CF，
∴△CEF为等腰三角形，
∴∠ECF=60°，
∴△CEF为等边三角形．
（3）解：如图，

连接AN，BM．
∵△ACM、△CBN是等边三角形
∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACN=∠BCM．
在△ACN与△MCB中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=CM}\\{∠ACN=∠BCM}\\{NC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△MCB（SAS）．
∴AN=BM．
即：结论1，AN=BM，成立，

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，利用全等三角形来得出角和边相等是解题的关键．