Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25cm，AC=20cm，点P从点A出发，沿AB的方向匀速运动，速度为5cm/s；同时点M由点C出发，沿CA的方向匀速运动，速度为4cm/s，过点M作MN∥AB交BC于点N．设运动时间为ts（0＜t＜5）．
（1）用含t的代数式表示线段MN的长；
（2）连接PN，是否存在某一时刻t，使S_{四边形AMNP}=48？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）连接PM、PN，是否存在某一时刻t，使点P在线段MN的垂直平分线上？若存在，求出此时
t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：∵MN∥AB，
∴=，
∴=，
∴MN=5t．

（2）解：存在，
理由是：
在△ACB中，AC=20，AB=25，由勾股定理得：BC=15，
∵MN∥AP，
∴△CMN∽△CAB，
∴==，
∴=，
CN=3t，CM=4t，
∴AM=20-4t，
由（1）中得到MN=5t，而AP=5t，可知MN=AP，
由于MN∥AP，
可知四边形AMNP是平行四边形，
S_{四边形AMNP}=AM×CN=（20-4t）3t=48，
解得t=1或t=4
过P作PQ⊥BC于Q，
∴当t是1s或4s时，使S_{四边形AMNP}=48，


（3）解：存在，
∵P在线段MN的垂直平分线上，
∴PN=PM，
又PN=AM，
∴PM=AM，
过M作MD⊥AB于D，
则AD=DP=，
由△AMD∽△ABC，
得，
，
解得t=．
分析：（1）根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可；
（2）分别求出△ABC的面积、△CMN的面积、△BNP的面积，即可求出答案；
（3）连接PN、PM，过M作MD⊥AB于D，推出AM=MP，证△ADM∽△ACB，推出比例式，代入求出即可．
点评：本题考查了等腰三角形性质和判定，线段垂直平分线性质，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点的应用，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，有一定难度．