Question

已知二次函数y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）
（1）求证：它的图象与x轴必有两个交点；
（2）这条抛物线与x轴交于两点A、B（A在B左），与y轴交于点C，顶点为D，sin∠ABD=，⊙M过A、B、C三点，求⊙M的面积；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使PA是⊙M的切线？若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意，得
△=（m-3）²+12m
∵（m-3）²≥0，m＞0，
∴（m-3）²+12m＞0，
∴抛物线x轴必有两个交点；

（2）当y=0时，
∴mx²+（m-3）x-3=0，解得
x₁=-1，x₂=，
∵A在B左，
∴A（-1，0），B（，0），
∴AB=．
过点D作DH⊥AB于点H，由抛物线的对称性得到AH=BH=AB，
由垂径定理的性质得，点M在DH上．
∵sin∠ABD=，设DH=2m，BD=5m，由勾股定理，得
BH=m，
∴BH=DH，
∴AB=DH，
∵OA=1，
∴OH=-1=，
∴D（，）
∴DH=-（），
=，
∴，解得：
m₁=1，m₂=-3（m＞0）
∴m=1，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3，HO=1，AH=2，设M（1，a），
∴MH=-a，MA=MC，CE=a-3，
∴（-a）²+4=1+（a+3）²
解得：a=-1
∴AM=，HM=1，
∴S_⊙M=5π．

（3）∵AP是⊙M的切线，
∴PA⊥MA，
∴△NAH∽△AMH，
∴=，
∴NH=4，
∴N（1，4），设直线AH的解析式为：y=kx+b，由题意，得
，解得：

∴直线AH的解析式为：y=2x+2，
∴，解得：
，（不符合题意，应舍去）
∴P（5，12）
分析：（1）利用根的判别式直接证明就可以了．
（2）当y=0时，可以表示出点A、B的坐标，表示出AB的长度，再根据sin∠ABD=，DH=2BH，从而得到AB=DH，再根据抛物线的解析式求出m的值，设出M（1，a）利用圆的性质可以求出半径，最后求出面积．
（3）由圆的切线的性质得出△NAH∽△AMH，可以求出NH的值，进而求出N的坐标，可以求出AN的解析式，可以求出与抛物线的交点坐标P．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了抛物线的于x轴的交点，抛物线的图象性质，圆的切线的判定及性质，勾股定理的运用．