Question

已知定点F（0，-2），动点P（x，y）到F点的距离与它到x轴的距离相等．
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）若（1）中的函数图象与过F点的直线y=kx+b交于A、B两点，
ⅰ请用k表示线段AB的长；
ⅱ以AB为弦的圆与y轴交于M（0，-4+2）、N（0，-4-2）两点，求此时直线y=kx+b的解析式．

Answer 1

解：（1）过P作PH⊥x轴于H，则PF=P．
∴=|y|
∴y=-x²-1；（5分）

（2）ⅰ设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（这里y₁＜0，y₂＜0）
∵直线过F（0，-2）
∴直线为y=kx-2
由得y²+4（1+k²）y+4（k²+1）=0（6分）
A、B在抛物线上，由已知条件知：AB=AF+FB
∴AB=|y₁|+|y₂|=-（y₁+y₂）=4（k²+1）（10分）
ⅱ由相交弦定理
AF•FB=FM•FN（11分）
又∵AF•FB=|y₁y₂|
∴4（k²+1）=8（12分）
∴k=±1
即直线方程为y=±x-2．（13分）
分析：（1）过P作PH⊥x轴于H，则PF=PH，然后表示出PF和PH得到=|y|，两边平方即可得到y与x之间的函数关系式；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（这里y₁＜0，y₂＜0），根据直线过F（0，-2），设出直线解析式为y=kx-2，与求得的函数关系式联立即可得到y²+4（1+k²）y+4（k²+1）=0，再根据AB=AF+FB即可表示出AB．
点评：本题考查了一次函数的综合知识，解题的关键是用点的坐标表示出线段的长．