Question

平面直角坐标系xOy中，已知定点A（1，0）和B（0，1）．
（1）如图1，若动点C在x轴上运动，则使△ABC为等腰三角形的点C有几个？
（2）如图2，直线l是过原点O的一条动直线，过A、B向直线l作垂线，垂足分别为M，N，试判断线段AM、BN、MN之间的数量关系，并说明理由；
（3）当动直线l运动到如图3的位置时，过A、B向动直线l作垂线，垂足分别为M，N，试判断线段AM、BN、MN之间的数量关系，不需证明． 

Answer 1

分析：（1）根据A点与B点坐标可判断△ABC为等腰直角三角形，则AB=

2

OA=

2

，然后分类讨论：当CA=CB时，可确定C点坐标为（0，0）；当AC=AB时，可确定C点坐标为（1+

2

，0）或（1-

2

，0）；当BC=BA时，可确定C点坐标为（-1，0）；
（2）先根据等角的余角相等可得到∠NBO=∠AOM，再根据“AAS”可判断△BON≌△OAM，所以BN=OM，ON=AM，利用MN=ON+OM，即可得到AM+BN=MN；
（3）与（2）的证明方法一样可得到△BON≌△OAM，则BN=OM，ON=AM，然后利用MN=ON-OM得到AM-BN=MN．

解答：解：（1）∵点A（1，0）和B（0，1），
∴OA=OB=1，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=

2

OA=

2

，
当CA=CB时，C点坐标为（0，0）；
当AC=AB时，C点坐标为（1+

2

，0）或（1-

2

，0）；
当BC=BA时，C点坐标为（-1，0），
∴使△ABC为等腰三角形的点C有4个；

（2）AM+BN=MN．理由如下：
∵AM⊥l，BN⊥l，
∴∠AMN=∠BNM=90°，
∴∠NBO+∠BON=90°，
而∠BON+∠AOM=90°，
∴∠NBO=∠AOM，
在△BON和△OAM中，

∠BNO=∠OMA ∠NBO=∠AOM OB=OA

，
∴△BON≌△OAM（AAS），
∴BN=OM，ON=AM，
而MN=ON+OM，
∴AM+BN=MN；

（3）AM-BN=MN．理由如下：
与（2）一样可证明△BON≌△OAM，
∴BN=OM，ON=AM，
而MN=ON-OM，
∴AM-BN=MN．

点评：本题考查了一次函数的综合题：会求一次函数与坐标轴的交点坐标，理解一次函数与坐标轴所围成的三角形的特征；熟练运用三角形全等的判定与性质解决线段相等的问题．