Question

13．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，在第一象限内的图象上是否存在一定P，使过点P所作的两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的四边形的面积为2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 如图，设直线y=kx+b（k≠0）交x轴与A，交y轴与B，过P作PE⊥x轴与E，PF⊥y轴与F，由于一次函数y=kx+b（k≠0）的图象，过点A（2，0）、B（0，3），于是得到直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+3；设P的坐标为（x，-$\frac{3}{2}$x+3），则S_矩形OEPF=OE•OF=x•（-$\frac{3}{2}$x+3）=2，整理得：3x²-6x+4=0，由于此方程无实数根，于是判定不存在点P，使过点P所作的两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的四边形的面积为2．

解答 解：如图，设直线y=kx+b（k≠0）交x轴与A，交y轴与B，
过P作PE⊥x轴与E，PF⊥y轴与F，
∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象，
过点A（2，0）、B（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+3；
设P的坐标为（x，-$\frac{3}{2}$x+3），
则S_矩形OEPF=OE•OF=x•（-$\frac{3}{2}$x+3）=2，
整理得：3x²-6x+4=0，
∵△=36-48＜0，
∴此方程无实数根，
∴不存在点P，使过点P所作的两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的四边形的面积为2．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，矩形的面积的求法，熟练掌握和运用一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．