Question

1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC上，且CD=2BD，连接AD，求证：AD⊥AC．

Answer 1

分析 作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质得到BE=CE，∠B=∠C=°30，设BD=1，则CD=2，BC=3，BE=CE=$\frac{3}{2}$，解直角三角形得到AB=AC=$\frac{BE}{cns30°}$=$\sqrt{3}$，证得$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{AC}$，推出△ABE∽△DCA，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，
∴BE=CE，∠B=∠C，
设BD=1，则CD=2，BC=3，BE=CE=$\frac{3}{2}$，
∵∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴AB=AC=$\frac{BE}{cns30°}$=$\sqrt{3}$，
∵$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}$，
即$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{AC}$，
∴△ABE∽△DCA，
∴∠DAC=∠ACB=90°，
∴AD⊥AC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线解题的关键．