Question

6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=∠A=90°，点E在AD边上，AE＞DE，BE=BC，点O是线段CE的中点．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）求证：△CDE∽△BOC；
（3）延长ED到点F，连接CF、OF，试说明四边形BCFE是菱形．

Answer 1

分析 （1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形即可；
（2）先判断出∠BCO+∠DCE=90°，再判断出△BCE是等腰三角形，从而得出OB⊥CE，用同角的余角相等得出∠OBC=∠DCE，即可；
（3）先判断出△BOC≌△POE，得出OB=OF，从而判断出四边形BCFE是平行四边形，再用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可．

解答 解：（1）∵∠ABC=∠A=90°，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）由（1）知四边形ABCD是矩形，
∴∠CDE=∠BCD=90°，
∴∠BCO+∠DCE=90°
∵点O是线段CE的中点．
∴OC=OE
∵BC=BE，
∴△BCE是等腰三角形，
∴OB⊥CE，
∴∠BOC=∠CDE=90°，
∴∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠OBC=∠DCE，
∵∠BOC=∠CDE=90°，
∴△BOC∽△CDE；
（3）由（1）知，AD∥BC，
∴∠OBC=∠OFE，
∵点O是线段CE的中点．
∴OC=OE
在△BOC和△POE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBC=∠OFE}\\{∠BOC=∠FOE}\\{OC=OE}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△POE，
∴OB=OF，
∵OC=OE，
∴四边形BCFE是平行四边形，
由（2）知，BF⊥CE，
∴平行四边形BCFE是菱形．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形，矩形，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，解本题的关键是△BCE是等腰三角形，是一道比较简单的中考常考题．