Question

如图，直线AB交y轴于A（0，1）交x轴于B（3，0），直线CD交x轴于D（2，0），过点C（3，1），直线AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是

 

．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：先用待定系数法求出直线AB与CD的解析式，进而可得出P点坐标，根据两点间的距离公式求出PB的长，再过点B作BE⊥CD于点E，连接BC，根据BC两点的坐标可得出BC⊥x轴及BC=1，再根据BD两点的坐标得出B的长，故可得出△CDB是等腰直角三角形，故△CBE也是等腰直角三角形，根据勾股定理求出BE的长，同理得出P的长，根据tan∠APD=tan∠BPE=

BE

PE

可得出结论．

解答：解：设直线AB的解析式为y=ax+b，直线CD的解析式为y=cx+d，
∵A（0，1），B（3，0），D（2，0），C（3，1），
∴

b=1 3a+b=0

，

2c+d=0 3c+d=1

，
解得

a=- 1 3 b=1

，

c=1 d=-2

，
∴设直线AB的解析式为y=-

1

3

x+1，直线CD的解析式为y=x-2，
∴

y=- 1 3 x+1 y=x-2

，解得

x= 9 4 y= 1 4

，
∴P（

9

4

，

1

4

），
∵B（3，0），
∴PB²=（

9

4

-3）²+（

1

4

）²=

5

8

，
过点B作BE⊥CD于点E，连接BC，
∵B（3，0），D（2，0），C（3，1），
∴BC⊥x轴，BC=BD=1，
∴△CDB是等腰直角三角形，
∵BE⊥CD，
∴△CBE也是等腰直角三角形，
∴BE=

2

2

BC=

2

2

，
∴PE=

PB2-BE2

=

5 8 - 1 2

=

2

4

，
∵∠APD与∠BPE是对顶角，
∴tan∠APD=tan∠BPE=

BE

PE

=

2 2

2 4

=2．
故答案为：2．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、锐角三角函数的定义等知识，难度适中．