【题目】如图,抛物线与轴交、两点(点在点左侧),直线与抛物线交于、两点,其中点的横坐标为2.
(1)求、两点的坐标及直线的函数表达式;
(2)是线段上的一个动点,过点作轴的平行线交抛物线于点,求线段长度的最大值;
(3)点是抛物线上的动点,在轴上是否存在点,使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,写出所有满足条件的点坐标(请直接写出点的坐标,不要求写过程);如果不存在,请说明理由.
【答案】(1),,。(2)。(3),,,.
【解析】
(1)因为抛物线与x轴相交,所以可令y=0,解出A、B的坐标.再根据C点在抛物线上,C点的横坐标为2,代入抛物线中即可得出C点的坐标.再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式;
(2)根据P点在AC上可设出P点的坐标.E点坐标可根据已知的抛物线求得.因为PE都在垂直于x轴的直线上,所以两点之间的距离为yp-yE,列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案;
(3)此题要分两种情况:①以AC为边,②以AC为对角线.确定平行四边形后,可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标.
(1)令y=0,解得x1=-1或x2=3,
∴A(-1,0)B(3,0),
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3,
∴C(2,-3),
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1;
(2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2),
则P、E的坐标分别为:P(x,-x-1),
E(x,x2-2x-3),
∵P点在E点的上方,PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=-x2+x+2=-(x-)2+,
∴当x=时,PE的最大值=;
(3)存在4个这样的点,分别是,,,.
①如图1,
连接C与抛物线和y轴的交点,那么CG∥x轴,此时AF=CG=2,因此F点的坐标是(-3,0);
②如图2,
AF=CG=2,A点的坐标为(-1,0),因此F点的坐标为(1,0);
③如图3,
此时C,G两点的纵坐标互为相反数,因此G点的纵坐标为3,代入抛物线中即可得出G点的坐标为(1+,3),
设直线GF的解析式为y=-x+h,
将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+,
因此直线GF与x轴的交点F的坐标为(4+,0);
④如图4,
同③可求出F的坐标为(4-,0).
总之,符合条件的F点共有4个.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠C=Rt∠,AB=2,∠B=30°,正六边形DEFGHI完全落在Rt△ABC内,且DE在BC边上,F在AC边上,H在AB边上,则正六边形DEFGHI的边长为_____,过I作A1C1∥AC,然后在△A1C1B内用同样的方法作第二个正六边形,按照上面的步骤继续下去,则第n个正六边形的边长为_____.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,将对角线AC绕对角线交点O旋转,分别交边AD、BC于点E、F,点P是边DC上的一个动点,且保持DP=AE,连接PE、PF,设AE=x(0<x<3).
(1)填空:PC= ,FC= ;(用含x的代数式表示)
(2)求△PEF面积的最小值;
(3)在运动过程中,PE⊥PF是否成立?若成立,求出x的值;若不成立,请说明理由.
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【题目】如图,已知二次函数y=x-4x+3的图象交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧), 交y轴于点C.
(1)求直线BC的解析式;
(2)点D是在直线BC下方的抛物线上的一个动点,当△BCD的面积最大时,求D点坐标.
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【题目】某校教室A位于一地O的正西方向,OA=200米,一部拖拉机从O出发,以5米/秒的速度沿北偏西60°方向行驶,设拖拉机噪音污染半径为125米,试问:教室A是否在噪音污染范围内?若不在,说明理由,若在,求教室A受污染的时间.
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【题目】已知,如图,在坡顶A处的同一水平面上有一座大型纪念碑BC,某同学在斜坡底P处测得该碑的碑顶B的仰角为45°,然后他们沿着坡度为1:2.4的斜坡AP攀行了26米到达坡顶A,在坡顶A处又测得该碑的碑顶B的仰角为76°,求纪念碑BC的高度(结果精确到0.1米).(过点A作AD⊥PO,垂足为点D.坡度=AD:PD)(参考数据:sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01)
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【题目】如图,过点的抛物线的对称轴是,点是抛物线与轴的一个交点,点在轴上,点是抛物线的顶点.
(1)求、的值;
(2)当是直角三角形时,求的面积;
(3)设点在直线下方且在抛物线上,点、在抛物线的对称轴上(点在点的上方),且,过点作轴的平行线交直线于点,当最大时,请直接写出四边形的周长最小时点、、的坐标.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线y=+bx﹣4经过A(﹣4,0),C(2,0)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣x上的动点,点B是抛物线与y轴交点.判断有几个位置能够使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
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【题目】国家教委规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”.为此某中学为了了解学生体育活动情况,随机调查了720名毕业班学生,调查内容是:“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”,所得的数据制成了的扇形统计图和频数分布直方图.根据图示,解答下列问题:
(1)若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩,选出的恰好是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少?
(2)“没时间”的人数是多少?并补全频数分布直方图;
(3)2010年这个地区初中毕业生约为3.2万人,按此调查,可以估计2010年这个地区初中毕业生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人?
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