Question

已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连接BD．
（1）如图1，若BD：CD=3：4，AD=3，求⊙O的直径 AB的长；
（2）如图2，若E是BC的中点，连接ED，请你判断直线ED与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）证得△ADB∽△BDC，结合已知比例求得BD=4，在Rt△ABD中，从而得到AB的长；（2）连接OD，E是BC的中点，DE=BE，∠EDB=∠EBD．由∠OBD+∠EBD=90°，得到∠ODB+∠EDB=∠ODE=90°，即得证．

解答：解：（1）如图，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
则∠CDB=∠ADB=90°．
∴∠C+∠CBD=90°．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°．
∴∠C=∠ABD．
∴△ADB∽△BDC．
∴

AD

BD

=

BD

CD

．
∵BD：CD=3：4，AD=3，
∴BD=4．
在Rt△ABD中，AB=

AD2+BD2

=

32+42

=5；（3分）

（2）直线ED与⊙O相切．
证明：如图，连接OD．
由（1）得∠BDC=90°．
∵E是BC的中点，
∴DE=BE=

1

2

BC，
∴∠EDB=∠EBD，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD．
∵∠OBD+∠EBD=90°，
∴∠ODB+∠EDB=∠ODE=90°．
∵点D在⊙O上，且OD⊥DE
∴ED是⊙O的切线．　（5分）

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，（1）求得BD=4，在Rt△ABD中，从而得到AB的长；（2）即证明∠ODB+∠EDB=∠ODE=90°即得证．