Question

已知抛物线C₁：．点F(1，1)．

(Ⅰ)求抛物线C₁的顶点坐标；

(Ⅱ)①若抛物线C₁与y轴的交点为A．连接AF，并延长交抛物线C₁于点B，求证：

②抛物线C₁上任意一点P(x_p，y_p))(0＜x_p＜1)．连接PF．并延长交抛物线C₁于点Q(x_Q，y_Q)，试判断是否成立？请说明理由；

(Ⅲ)将抛物线C₁作适当的平移．得抛物线C₂：，若2＜x≤m时．y₂≤x恒成立，求m的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解(Ⅰ)∵， 　　∴抛物线的顶点坐标为()． 　　(Ⅱ)①根据题意，可得点A(0，1)， 　　∵F(1，1)． 　　∴AB∥x轴．得AF＝BF＝1， 　　 　　②成立． 　　理由如下： 　　如图，过点P()作PM⊥AB于点M，则FM＝，PM＝() 　　∴Rt△PMF中，有勾股定理，得 　　 　　又点P()在抛物线上， 　　得，即 　　∴ 　　即． 　　过点Q()作QN⊥B，与AB的延长线交于点N， 　　同理可得． 　　图文∠PMF＝∠QNF＝90°，∠MFP＝∠NFQ， 　　∴△PMF∽△QNF 　　有 　　这里， 　　∴ 　　即 　　(Ⅲ)令， 　　设其图象与抛物线交点的横坐标为，，且＜， 　　∵抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的， 　　观察图象．随着抛物线向右不断平移，，的值不断增大， 　　∴当满足，．