Question

已知抛物线C₁：，点F（1，1）。
（Ⅰ）求抛物线C₁的顶点坐标；
（Ⅱ）①若抛物线C₁与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线C₁于点B，求证：；
②抛物线C₁上任意一点P（x_p，y_p）（0<x_p<1），连接PF，并延长交抛物线C₁于点Q（x_q，y_q），试判断是否成立？请说明理由；
（Ⅲ）将抛物线C₁作适当的平移，得抛物线C₂：，若2<x≤m时，y₂≤x，恒成立，求m的最大值。

Answer 1

解 （I）∵， ∴抛物线的顶点坐标为（）；
（II）①根据题意，可得点A（0，1）， ∵F（1，1）， ∴AB∥x轴， 得AF=BF=1， ；  ②成立， 理由如下： 如图，过点P（）作PM⊥AB于点M，则FM=，PM=（） ∴Rt△PMF中，由勾股定理，得 又点P（）在抛物线上， 得，即 ∴ 即， 过点Q（）作QN⊥B，与AB的延长线交于点N， 同理可得， 图文∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ， ∴△PMF∽△QNF 有 这里， ∴ 即；
（Ⅲ）令， 设其图象与抛物线交点的横坐标为，， 且<， ∵抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的， 观察图象，随着抛物线向右不断平移，，的值不断增大， ∴当满足，，恒成立时，m的最大值在处取得， 可得当时， 所对应的即为m的最大值， 于是，将带入， 有 解得h=4或h=0（舍）  ∴ 此时，， 得 解得， ∴m的最大值为8。