Question

19．如图，在?ABCD中，E是BC边的中点，DE与AB的延长线交于点F．
（1）求证：△CDE≌△BFE；
（2）若DF平分∠ADC，连接AE，试判断AE和DF的位置关系，并说明埋由．

Answer 1

分析 （1）利用中点定义可得BE=EC，根据平行四边形的性质可得AB∥CD，根据平行线的性质可得∠F=∠CDE，然后可利用AAS判定△CDE≌△BFE；
（2）首先证明∠F=∠ADF，根据等角对等边可得AD=AF，再根据全等三角形的性质可得EF=DE，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥DF．

解答 （1）证明：∵E是BC边的中点，
∴BE=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠F=∠CDE，
在△BEF和△CED中$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠EDC}\\{∠BEF=∠CED}\\{EB=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BFE（AAS）；

（2）解：AE⊥DF，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠F=∠CDE，
∴∠F=∠ADF，
∴AD=AF，
∵△CDE≌△BFE，
∴EF=ED，
∴AE⊥DF．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边平行．