Question

13．如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．（1）求m及k的值；
（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x+m≤$\frac{k}{x}$的解集．
（3）若A点关于直线y=x的对称点为A′，求△A′BC的面积．

Answer 1

分析 （1）把A的坐标代入两函数解析式，即可得出答案；
（2）求出一次函数的解析式，即可求出C的坐标，根据A、C的坐标，结合图象得出答案即可；
（3）根据对称和A的坐标求出A′的坐标，求出BW和A′C的值，根据面积公式得出即可．

解答 解：（1）把A的坐标代入y=x+m得：1=2+m，
解得：m=-1，
把A的坐标代入y=$\frac{k}{x}$得：1=$\frac{k}{2}$，
解得：k=2，
即m=-1，k=2；

（2）由（1）知：一次函数的解析式为y=x-1，反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$，
在y=x-1中，当y=0时，x=1，
即C的坐标为（1，0），
∵A（2，1），
∴不等式组0＜x+m≤$\frac{k}{x}$的解集是1＜x≤2；

（3）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=x-1}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∵A（2，1）
∴B的坐标为（-1，-2），

过A作AR⊥x轴于R，过A′作A′Q⊥y轴于Q，则∠A′QO=∠ARO=90°，
过B作BW⊥A′C于W，连接AA′，OA′，OA，
∵A、A′关于y=x对称，
∴OA′=OA，直线y=x垂直平分AA′，
∴∠A′OE=∠AOE，
∵直线y=x，
∴∠QOE=∠ROE，
∴∠QOA′=∠ROA，
在△A′QO和△ARO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A′QO=∠ARO}\\{∠QOA′=∠ROA}\\{OA′=OA}\end{array}\right.$
∴△A′QO≌△ARO（AAS），
∴△A′QO≌△ARO（AAS），
∴OQ=OR，A′Q=AR，
∵A（2，1），
∴A′Q=1，OQ=2，
∴A′的坐标为（1，2），
∵C（1，0），
∴A′C⊥x轴，
∵B（-1，-2），A′（1，2），
∴A′C=2，BW=1+1=2，
∴△A′BC的面积是$\frac{1}{2}×2×2$=2．

点评 本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，轴对称的性质等知识点，能够求出函数的解析式和A′的坐标是解此题的关键，注意数形结合思想的运用．