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二次函数y=ax²-6ax+c(a>0)的图像抛物线过点C(0,4),设抛物线的顶点为D。

(1)若抛物线经过点(1,-6),求二次函数的解析式;
(2)若a=1时,试判断抛物线与x轴交点的个数;
(3)如图所示A、B是⊙P上两点,AB=8,AP=5。且抛物线过点A(x1,y1),B(x2,y2),并有AD=BD。设⊙P上一动点E(不与A、B重合),且∠AEB为锐角,若<a≤1时,请判断∠AEB与∠ADB的大小关系,并说明理由。
(1) ;(2)当0<a<0.5时,∠AEB <∠ADB ;当a=0.5时,∠AEB =∠ADB ;当0.5<a≤1时,∠AEB >∠ADB.

试题分析:(1)把C(0,4)、(1,-6)代入y=ax²-6ax+c,可求a、c的值,即可确定函数解析式;
(2)若 a=1时,计算出△的值,即可判断抛物线与x轴交点的个数;
(3)由二次函数方程算出对称轴为x=3,顶点D为(3,4-9a)。因为AD=BD,所以⊿ADB是等腰三角形且对称轴垂直平分AB。因为AB=8,所以A,B的横坐标分别为-1和7,纵坐标同为4+7a,所以⊿ADB的高就是A(或B)与D的纵坐标之差16a.因为∠AEB为锐角,所以E点在线段AB的下方(在上方则是钝角),由于弧AB所对的圆周角都相等,不妨就让△AEB为一个等腰三角形,即E的横坐标为3.过E做AB的垂线,必过圆心P,所以△AEB的高为8.
所以,比较16a和8的大小就行。当0<a<0.5时,∠AEB <∠ADB ;当a=0.5时,∠AEB =∠ADB ;当0.5<a≤1时,∠AEB >∠ADB.
试题解析:(1)把C(0,4)、(1,-6)代入y=ax²-6ax+c,得:
,解得:
所以二次函数的解析式为:.
(2)当a=1时,
△=(-6)2-4c=36-4c
(i)当36-4c>0,即c<9时,抛物线与x轴交点的个数有2个;
(ii)当36-4c=0,即c=9时,抛物线与x轴交点的个数有1个;
(iii)36-4c<0,即c>9时,抛物线与x轴没有交点;
(3)当0<a<0.5时,∠AEB <∠ADB ;当a=0.5时,∠AEB =∠ADB ;当0.5<a≤1时,∠AEB >∠ADB.
考点: 二次函数综合题.
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