Question

10．已知二次函数中x和y的部分对应值如下表：

x	…	-1	0	1	2	3	…
y	…	0	-3	-4	-3	0	…

（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，点P是直线BC下方抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积；
（3）在抛物线上，是否存在一点Q，使△QBC中QC=QB？若存在请直接写出Q点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）首先求得直线BC的解析式，过P作PN⊥x轴交直线BC于点M，然后根据S_△BPC=S_△PCM+S_△PMB=$\frac{1}{2}$PM•ON+$\frac{1}{2}$PM•NB，即可把S△BPC表示成P的横坐标x的函数，根据函数的性质求最值；
（3）QC=QB，则Q就是线段BC的中垂线与二次函数的交点，首先求得BC的解析式，然后解方程组即可．

解答 解：（1）设y=a（x+1）（x-3）把（0，-3）代入可得：-3=a（0+1）（0-3）
解得：a=1则y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3，
∴二次函数的解析式为：y=x²-2x-3；
（2）S_{四边形ABPC}=S_△ABC+S_△BPC=$\frac{1}{2}$×1×3+S_△BPC，
设直线BC的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
则直线BC的解析式是：y=x-3．
过P作PN⊥x轴交直线BC于点M，设P（x，x²-2x-3）则M（x，x-3）
∴MP=x-3-（x²-2x-3）=-x²+3x
S_△BPC=S_△PCM+S_△PMB=$\frac{1}{2}$PM•ON+$\frac{1}{2}$PM•NB
=$\frac{1}{2}$PM•OB=$\frac{1}{2}$（-x²+3x）×3=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$（0＜x＜3）．
当x=$\frac{3}{2}$时，S_△BPC的最大值为$\frac{27}{8}$，则 S_{四边形ABPC}的最大值为：$\frac{27}{8}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{39}{8}$，
此时P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；
（3）BC的中点坐标是（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．
设线段BC的中垂线的解析式是y=-x+c，则-$\frac{3}{2}$+c=-$\frac{3}{2}$，
解得c=0，
即BC的中垂线的解析式是y=-x．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}}\\{y=-\frac{1+\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}}\\{y=-\frac{1-\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$．
则Q的坐标是：Q₁（$\frac{{1+\sqrt{13}}}{2}$，-$\frac{{1+\sqrt{13}}}{2}$）、Q₂（$\frac{{1-\sqrt{13}}}{2}$，-$\frac{{1-\sqrt{13}}}{2}$）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及利用二次函数求最值问题，求实际问题的最值问题常用的解题思路是转化为函数问题解决．