Question

5．如图，直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c与x轴交于另一点A，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D，设抛物线的顶点为P，连接AD，线段AD与y轴相交于点E．
（1）求该抛物线的解析式及对称轴；
（2）连结AP，请在y轴正半轴上找一点Q，使Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等，并求出点Q的坐标；
（3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，若2DM=DN，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线经过的三点坐标，直接利用待定系数法求解即可．
（2）考虑直接用SSS判定两三角形全等的方法来求解．
（3）根据B、D的坐标，容易判断出△CDE是等边三角形，然后通过证△CEM、△DEN全等来得出CM=DN，首先设出点M的坐标，表示出PM、CM的长，由PM=2DN=2CM列方程确定点M的坐标．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3与x轴、y轴分别交于B、C 两点，
∴B（3$\sqrt{3}$，0）、C（0，3），
∵抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c经过B（3$\sqrt{3}$，0）、C（0，3）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-\frac{1}{3}×（3\sqrt{3}）^{2}+3\sqrt{3}b+c}\\{3=c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式：y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+3．
对称轴为直线x=$\sqrt{3}$；

（2）如图1，∵B（3$\sqrt{3}$，0）、C（0，3），
∴∠OBC═30°．
由轴对称的性质和三角形外角性质，可得∠ADP=120°，可得点D的坐标为（$\sqrt{3}$，2）．
∴DP=CD=2，AD=4．
在y轴正方向上取点Q，且CQ=4，
∴△QCD≌△ADP，
∴Q的坐标为（0，7）．   

（3）由（2）知，可得△CED为等边三角形，
①当点M在线段CD上时，如图2
可证△CEM≌△DEN，
∴CM=DN，
∵2DM=DN，
∴CM=2DM，CD=2，
∴DM=$\frac{1}{3}$CD=$\frac{2}{3}$，CM=$\frac{2}{3}$CD=$\frac{4}{3}$．
作MH⊥y轴于H，则CH=$\frac{1}{2}$CM=$\frac{2}{3}$，MH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴OH=OC-CH=3-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{3}$
∴M（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{7}{3}$）；
②当点M在线段DB上时，如图3，
可证△CEM≌△DEN，
可得2DM=2CD=CM=DN=4，△CEM和△DEN为Rt△
∴CE=2，OE=CO-OE=1，EM=2$\sqrt{3}$
∴M（2$\sqrt{3}$，1），
综上，M（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{7}{3}$）或M（$2\sqrt{3}$，1）．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及到：函数解析式的确定、等边三角形的判定和性质、图形的旋转以及全等三角形的应用等重点知识．在解题时，一定要注意从图中找出合适的解题思路；能否将琐碎的知识运用到同一题目中进行解答，也是对基础知识掌握情况的重点考查．