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    如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
    （1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
    （2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；
    （3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．精英家教网
    分析：（1）根据三角形判定方法进行证明即可．
    （2）作FH⊥MN于H．先证△ABE≌△EHF，得到对应边相等，从而推出△CHF是等腰直角三角形，∠FCH的度数就可以求得了．
    （3）本题也是通过构建直角三角形来求度数，作FH⊥MN于H，∠FCH的正切值就是FH：CH．
    解答：精英家教网（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
    ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
    ∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，
    ∴∠BAE=∠DAG，
    ∴△BAE≌△DAG．

    （2）解：∠FCN=45°，
    理由是：作FH⊥MN于H，
    ∵∠AEF=∠ABE=90°，
    ∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，
    ∴∠FEH=∠BAE，
    又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°，
    ∴△EFH≌△ABE，
    ∴FH=BE，EH=AB=BC，
    ∴CH=BE=FH，
    ∵∠FHC=90°，
    ∴∠FCN=45°．

    （3）解：当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，
    理由是：作FH⊥MN于H，
    由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，
    结合（1）（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG，
    又∵G在射线CD上，
    ∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，
    ∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，
    ∴EH=AD=BC=b，
    ∴CH=BE，
    ∴
    EH
    AB
    =
    FH
    BE
    =
    FH
    CH
    ；
    在Rt△FEH中，tan∠FCN=
    FH
    CH
    =
    EH
    AB
    =
    b
    a
    ，
    ∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN=
    b
    a
    ．
    点评：本题考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．
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    ①求图（1）中，点A的坐标是多少？
    ②若矩形ABCD从图（1）的位置开始沿x轴的正方向移动，每秒移动1个单位，1秒后点A刚好落在反比例函数的图象上，如图（2），求反比例函数的表达式．
    ③矩形ABCD继续向x轴的正方向移动，AB、AD与反比例函数图象分别交于P、Q两点，如图（3），设移动总时间为t（1＜t＜5），分别写出△PBC的面积S1、△QDC的面积S2与t的函数关系式，并求当t为何值时，S2=
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    （2）矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3，将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图甲所示的位置沿x轴的正方向匀速平移，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图乙所示）．
    ①当t=
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    时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
    ②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
    ③现将甲图中的抛物线向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于G、F两点，与原抛物线交于点Q，设△FGQ的面积为S，求S关于m的函关系式．

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    ①当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
    ②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
    ③现将甲图中的抛物线向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于G、F两点，与原抛物线交于点Q，设△FGQ的面积为S，求S关于m的函关系式．

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