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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=4．现以O为坐标原点，OA所在直线为精英家教网x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
    （1）求点C的坐标；
    （2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
    （3）若⊙P的半径为R，圆心P在（2）的抛物线上运动，问：是否存在这样的点P，使得⊙P与两坐标轴都相切？若存在，请求出此时⊙P半径R的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）过C作CH⊥OA于H，根据折叠得到OC=OA=4，∠A0C=60°，求出OH和CH即可；
    （2）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，把A（4，0），C（2，2
    		3
    ）代入得到方程组，求出方程组的解即可；
    （3）根据圆与x、y轴相切得出直线y=±x，根据y=x，y=-x得出方程，求出方程的解即可．
    解答：精英家教网解：（1）过C作CH⊥OA于H，
    ∵将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，
    ∴OC=OA=4，∠A0C=60°，
    ∴OH=2，CH=2
    		3
    ，
    ∴C的坐标是（2，2
    		3
    ），
    答：C点坐标为（2，2
    		3
    ）．

    （2）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，
    把A（4，0），C（2，2
    		3
    ）代入得：
    0=16a+4b
    2 
    		3
    =4a+2b
    ，
    ∴
    a=-
    1
    2
    		3
    b=2
    		3
    ，
    ∴y=-
    1
    2
    		3
    x2+2
    		3
    x    ，
    答：此抛物线的解析式为y=-
    1
    2
    		3
    x2+2
    		3
    x    ．

    （3）存在．
    设圆心P（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x，
    由y=x，得-
    1
    2
    		3
    x2+2
    		3
    x=x    ，
    解得x1=0（舍去），x=4-
    2
    3
    		3
    ，
    由y=-x，得-
    1
    2
    		3
    x2+2
    		3
    x=-x    ，
    解得x1=0（舍去），x=4+
    2
    3
    		3
    ，
    ∴所求⊙P的半径R=4+
    2
    3
    		3
    或R=4-
    2
    3
    		3
    ，
    答：存在这样的点P，使得⊙P与两坐标轴都相切，此时⊙P半径R的值是4+
    2
    3
    		3
    或4-
    2
    3
    		3
    ．
    点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理，含30度角的直角三角形，折叠问题，解二元一次方程组，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行计算是解此题的关键．
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    （
    		3
    +
    3
    2
    ，
    		3
    2
    ）
    （
    		3
    +
    3
    2
    ，
    		3
    2
    ）
    ．

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    		12
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