Question

如图，矩形边OC，OA分别在x轴，y轴的正半轴上，OC=9，OA=5，点P为抛物线y=2x²+5的顶点，该抛物线随顶点P从点A出发沿着线段AB方向向终点B运动，点P运动速度为1厘米/秒，运动时间为t 秒，E是动抛物线的对称轴左侧图象上的某一点（含顶点P），D（0，-2），连接DE交x轴于点H，直线DE的解析式为y=kx-2．
（1）当t=1时，
①直接写出此时动抛物线的解析式；
②若点E的坐标是（a，7），求a的值；
（2）当k=1且DH：DE=2：7时，求t的值；
（3）若点Q的坐标是（16，0），连接DQ，EQ．是否同时存在k，t，使△DEQ为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足的k，t的值及点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）①y=2（x-1）²+5
②7=2（a-1）²+5，a=0或a=2（舍去），
∴a=0
（2）（如图1）连接AE
∵k=1，
∴y=x-2，
∴H（2，0），
∵DO：DA=DH：DE=2：7，
∴AE∥OH，
∴点E与点P重合，
∴OH：AP=2：7，
∴AP=7，
即t=7；
（3）以下分三种情况讨论．
①当∠EDQ=90°，DE=DQ时（如图2）
作EM⊥y轴于点M，
∴△DEM≌△QDO，
∴易得E（-2，14），
∴14=-2k-2，
∴k=-8
∵y=2（x-t）²+5
∴14=2（-2-t）²+5
∴（舍去），或
∴k=-8，，E（-2，14）；
②当∠DEQ=90°，ED=EQ时（如图3）
作ET⊥x轴于点T，EF⊥y轴于点F，
∴易得△ETQ≌△EFD，设ET=m，
∴易得TQ=16-m
FD=FO+OD=m+2，
∴m+2=16-m，
∴m=7，E（7，7），
∴7=7k-2，
∴k=
∵y=2（x-t）²+5
∴7=2（7-t）²+5
∴t=6（舍去），或t=8
∴k=，t=8，E（7，7）…（3分）
③当∠DQE=90°，QD=QE时
易得E（14，16），
∵E是动抛物线的对称轴左侧图象上的某一点，
∴点E的横坐标x_E≤9，
∵14＞9，
∴不存在∠DQE=90°且QD=QE的等腰直角△DQE．

分析：（1）直接根据抛物线的平移规律可以得到函数的解析式，然后点E的纵坐标代入求得a的值即可；
（2）连接AE，利用对应线段成比例得到平行线，然后求得AP的长即可求得t值．
（3）分当∠EDQ=90°，DE=DQ时、当∠DEQ=90°，ED=EQ时、当∠DEQ=90°，ED=EQ时三种情况求得点E的坐标即可．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是本题中牵扯到的抛物线的平移问题更是近几年中考的热点考点，了解抛物线的平移规律是解题的关键．