Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=m，延长CB至点D，使BD=AB．
①求∠D的度数；
②求tan75°的值．

Answer 1

解：①∵BD=AB，
∴∠D=∠BAC，
∵∠ABC=30°，
∴∠D=∠DAB=15°，

②∵∠C=90°，∠ABC=30°，AC=m，
∴AB=BD=2m，BC=m，
∴CD=2m+m，
∵∠D=15°，
∴∠DAC=75°，
∴tan75°=tan∠CAD===2+．
分析：①由BD=AB，可知∠D=∠BAC，然后根据三角形外角的性质，由∠ABC=30°，即可推出∠D=∠BAC=30°÷2=15°；
②根据特殊角的三角函数，由∠C=90°，∠ABC=30°，AC=m，可求出AB=BD=2m，BC=m，再根据∠D=15°，即可求出∠DAC=75°，最后根据tan75°=tan∠CAD=，即可推出结果．
点评：本题主要考查含30度角的直角三角形的性质、锐角的三角函数、等腰直角三角形的性质、外角的性质，关键在于熟练掌握相关的性质，求出CD的长度和∠BAC=75°．