Question

若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y₁=2x²-4mx+2m²+1和y₂=ax²+bx+5，其中y₁的图象经过点A（1，1），若y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”，求函数y₂的表达式，并求出当0≤x≤3时，y₂的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数的最值

专题：代数综合题,压轴题,新定义

分析：（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．
（2）由y₁的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”就可以求出函数y₂的表达式，然后将函数y₂的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．

解答：解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x-h）²+k，
当a=2，h=3，k=4时，
二次函数的关系式为y=2（x-3）²+4．
∵2＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
当a=3，h=3，k=4时，
二次函数的关系式为y=3（x-3）²+4．
∵3＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
∵两个函数y=2（x-3）²+4与y=3（x-3）²+4顶点相同，开口都向上，
∴两个函数y=2（x-3）²+4与y=3（x-3）²+4是“同簇二次函数”．
∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x-3）²+4与y=3（x-3）²+4．

（2）∵y₁的图象经过点A（1，1），
∴2×1²-4×m×1+2m²+1=1．
整理得：m²-2m+1=0．
解得：m₁=m₂=1．
∴y₁=2x²-4x+3
=2（x-1）²+1．
∴y₁+y₂=2x²-4x+3+ax²+bx+5
=（a+2）x²+（b-4）x+8
∵y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”，
∴y₁+y₂=（a+2）（x-1）²+1
=（a+2）x²-2（a+2）x+（a+2）+1．
其中a+2＞0，即a＞-2．
∴

b-4=-2(a+2) 8=(a+2)+1

．
解得：

a=5 b=-10

．
∴函数y₂的表达式为：y₂=5x²-10x+5．
∴y₂=5x²-10x+5
=5（x-1）²．
∴函数y₂的图象的对称轴为x=1．
∵5＞0，
∴函数y₂的图象开口向上．
①当0≤x≤1时，
∵函数y₂的图象开口向上，
∴y₂随x的增大而减小．
∴当x=0时，y₂取最大值，
最大值为5（0-1）²=5．
②当1＜x≤3时，
∵函数y₂的图象开口向上，
∴y₂随x的增大而增大．
∴当x=3时，y₂取最大值，
最大值为5（3-1）²=20．
综上所述：当0≤x≤3时，y₂的最大值为20．

点评：本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．