Question

如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE⊥EF，BE=2．
（1）求EC：CF的值；
（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；
（3）若将“边长为5的正方形”改为“BC长为m（m＞2），AB长为n（n＞2），的矩形”，其他条件不变，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠1=∠2，即可证得：△ABE∽△EFC，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得EC：CF的值；
（2）首先作辅助线：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，利用ASA，易证得：△AME≌△PCE，则可证得：AE=EP；
（3）根据（2）中的证明方法，可以证得：△AME∽△ECP，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得：AE与EP的大小关系．

解答：解：（1）∵AE⊥EF，
∴∠2+∠3=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠1=∠2，
∴△ABE∽△ECF，
∴EC：CF=AB：BE=5：2；

（2）在AB上取一点M，使BM=BE，连接ME．
∴AM=CE．
∴∠BME=45°，
∴∠AME=135°．
∵CP是外角平分线，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°．
∴∠AME=∠ECP．
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF．
∴△AME≌△PCE（ASA）．
∴AE=EP．

（3）
作PN⊥BC于点N．
△ABE∽△ECF
∴

AB

EC

=

BE

CF

即

n

m-2

=

2

CF

∴CF=

2(m-2)

n

设PN=x，则EN=m-2+x．
∵PN∥CF
∴△EFC∽△EPN
∴

CF

PN

=

EC

EN

，即

2(m-2) n

x

=

m-2

m-2+x

解得：x=

2m-4

n-2

∵△ABE∽△ENP
∴

AE

EP

=

AB

EN

=

n

m-2+ 2m-4 n-2

=

n(n-2)

(m-2)(n-2)+2m-4

=

n-2

m-2

，
当m=n＞2时，AE=EP，
当n＞m＞2时AE＞EP，
当m＞n＞2时，AE＜EP．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．