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如图1,在边长为5的正方形ABCD中,点E、F分别是BC、DC边上的点,且AE⊥EF,BE=2.
(1)求EC:CF的值;
(2)延长EF交正方形外角平分线CP于点P(如图2),试判断AE与EP的大小关系,并说明理由;
(3)若将“边长为5的正方形”改为“BC长为m(m>2),AB长为n(n>2),的矩形”,其他条件不变,试判断AE与EP的大小关系,并说明理由.
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分析:(1)由正方形的性质可得:∠B=∠C=90°,由同角的余角相等,可证得:∠1=∠2,即可证得:△ABE∽△EFC,又由相似三角形的对应边成比例,即可求得EC:CF的值;
(2)首先作辅助线:在AB上取一点M,使AM=EC,连接ME,利用ASA,易证得:△AME≌△PCE,则可证得:AE=EP;
(3)根据(2)中的证明方法,可以证得:△AME∽△ECP,又由相似三角形的对应边成比例,即可求得:AE与EP的大小关系.
解答:解:(1)∵AE⊥EF,精英家教网
∴∠2+∠3=90°,
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠B=∠C=90°,
∴∠1+∠3=90°,∠1=∠2,
∴△ABE∽△ECF,
∴EC:CF=AB:BE=5:2;

(2)在AB上取一点M,使BM=BE,连接ME.
∴AM=CE.精英家教网
∴∠BME=45°,
∴∠AME=135°.
∵CP是外角平分线,
∴∠DCP=45°,
∴∠ECP=135°.
∴∠AME=∠ECP.
∵∠AEB+∠BAE=90°,∠AEB+∠CEF=90°,
∴∠BAE=∠CEF.
∴△AME≌△PCE(ASA).
∴AE=EP.

(3)
作PN⊥BC于点N.
△ABE∽△ECF精英家教网
AB
EC
=
BE
CF
n
m-2
=
2
CF

∴CF=
2(m-2)
n

设PN=x,则EN=m-2+x.
∵PN∥CF
∴△EFC∽△EPN
CF
PN
=
EC
EN
,即
2(m-2)
n
x
=
m-2
m-2+x

解得:x=
2m-4
n-2

∵△ABE∽△ENP
AE
EP
=
AB
EN
=
n
m-2+
2m-4
n-2
=
n(n-2)
(m-2)(n-2)+2m-4
=
n-2
m-2

当m=n>2时,AE=EP,
当n>m>2时AE>EP,
当m>n>2时,AE<EP.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识.此题综合性很强,图形比较复杂,解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择.
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