Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣4与y轴交于点A，顶点为B，点A的坐标为（0，﹣2），点C在抛物线上（不与点A，B重合），过点C作y轴的垂线交抛物线于点D，连结AC，AD，CD，设点C的横坐标为m．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．

（2）用含m的代数式表示线段CD的长．

（3）点E是抛物线对称轴上一点，且点E的纵坐标比点C的纵坐标小1，连结BD，DE，设△ACD的面积为S1，△BDE的面积为S2，且S1S2≠0，求S2=S1时m的值．

（4）将抛物线y=a（x﹣2）2﹣4沿x=2平移，得到抛物线y=a（x﹣2）2+k，过点C作y轴平行线与抛物线y=a（x﹣2）2+k交于点F，若CD与y轴交于点G，且CD=6，直接写出使AC=FG的点F的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣2；（2）当m＜2，且m≠0时，CD=4﹣2m；当m＞2时，CD=2m﹣4；（3）m=2±或m=；（4）点F的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，3）或（5，﹣2）或（5，3）

【解析】试题分析：（1）把A（0，-2）代入抛物线切线a=即可；

（2）抛物线的对称轴为直线x=2，且点C的横坐标为m，得出当m<2，且m≠0时，CD=4-2m，当m>2时，CD=2m-4；

（3）求出BE=m2-2m+1或BE=-m2+2m-1，由三角形面积关系得出方程，解方程即可；

（4）由题意得出则四边形AGCF是矩形，求出点C的坐标，分情况讨论，根据点的坐标关系即可得出答案．

试题解析：（1）∵抛物线y=a（x﹣2）2﹣4与y轴交于点A（0，﹣2），

∴﹣2=4a﹣4，

解得：a=，

∴这条抛物线所对应的函数表达式为y=（x﹣2）2﹣4，

即y=x2﹣2x﹣2；

（2）∵抛物线y=（x﹣2）2﹣4的对称轴为直线x=2，且点C的横坐标为m，

∴当m＜2，且m≠0时，CD=4﹣2m；

当m＞2时，CD=2m﹣4；

（3）∵B（2，﹣4），E（2， m2﹣2m﹣3），

∴BE=m2﹣2m+1或BE=﹣m2+2m﹣1，

∴S1=CD（m2﹣2m）或S1=CD（﹣m2+2m），S2=CD（m2﹣2m+1）或S2=CD（﹣m2+2m﹣1），

∵S2=S1，

∴4（m2﹣2m）=3（m2﹣2m+1），或4（m2﹣2m）=﹣3（m2﹣2m+1），

解得：m=2±或=；

（4）若AC=FG，连接AF，则四边形AGCF是矩形，

∵CD=6，抛物线的对称轴为x=2，

∴点C的横坐标为﹣1或5；

①当点C的横坐标为﹣1时，点C的纵坐标=×（﹣1）2﹣2×（﹣1）﹣2=，

当抛物线向下平移时，如图所示，

∵点A的坐标为（0，﹣2），

∴点F的坐标为（﹣1，﹣2）；

当抛物线向上平移时，同理得出点F的坐标为（﹣1，3）；

②当点C的横坐标为5时，点C的纵坐标为，

当抛物线向下平移时，同理的点F的坐标为（5，﹣2）；

当抛物线向上平移时，同理得出点F的坐标为（5，3）；

综上所述：点F的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，3）或（5，﹣2）或（5，3）．