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【题目】在△ABC中,AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N.

(1)如图①,若△AMN是等边三角形,则∠BAC=   °;

(2)如图②,若∠BAC=135°,求证:BM2+CN2=MN2

(3)如图③ABC的平分线BPAC边的垂直平分线相交于点P,过点PPH垂直BA的延长线于点H.若AB=4,CB=10,求AH的长.

【答案】1200

【解析】

(1)先求出∠AMN=60°,再利用垂直平分线求出∠B=30°,同理求出∠C=30°,最后利用三角形内角和定理即可得出结论;

(2)先判断出∠B+∠C=45°,进而求出∠MAN=90°,即可得出结论;

(3)先判断出Rt△APH≌Rt△CPE,进而判断出Rt△BPH≌Rt△BPE,即可得出结论.

解:(1)如图①,∵△AMN是等边三角形,

∴∠AMN=60°,

∵MGAB的垂直平分线,

∴AM=AM,

∴∠B=∠BAM=30°

同理:∠C=30°,

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°

故答案为120;

(2)如图①,连接AM、AN

∵∠BAC=135°

∴∠B+∠C=45°,

又∵点MAB的垂直平分线上

∴AM=BM

∴∠BAM=∠B,

同理AN=CN,∠CAN=∠C

∴∠BAM+∠CAN=45°

∴∠MAN=90°,

∴AM2+AN2=MN2

∴BM2+CN2=MN2

(3)如图②,连接AP、CP,过点PPE⊥BC于点E

∵BP平分∠ABC,PH⊥BA,PE⊥BC

∴PH=PE

∵点PAC的垂直平分线上

∴AP=CP

Rt△APHRt△CPE

∴Rt△APH≌Rt△CPE

∴AH=CE,

∵BP平分∠ABC,PH⊥BA,PE⊥BC

∴∠HBP=∠CBP,∠BHP=∠BEP=90°

∵BP=BP

∴Rt△BPH≌Rt△BPE

∴BH=BE,

∴BC=BE+CE=BH+CE=AB+2AH

∴AH=(BC-AB)÷2=3.

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10

0

0.20

30

80

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