Question

11．如图：△ABC中，DE是BC边的垂直平分线，垂足为E，AD平分∠BAC且MD⊥AB，DN⊥AC延长线于N．求证：BM=CN．

Answer 1

分析 因为ED是BC的垂直平分线，那么BD=CD，而AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，根据角平分线的性质可得DM=DN，再根据HL可判定Rt△BMD≌Rt△CND，从而有BM=CN．

解答 证明：连接BD，DC，如图：

∵DE所在直线是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵AD平分∠BAC，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC交AC的延长线于点N，
∴DM=DN，
在Rt△BMD与Rt△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DC}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△BMD≌Rt△CDN（HL），
∴BM=CN；

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的定义以及性质，掌握角平分线的性质以及具体的应用．