Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在CA延长线上，DE⊥CE，CE=CB，DF平分∠EDC交AB于点F，连接DF．

（1）∠EFD=90°+

1

2

∠ECD；
（2）设DF的延长线交BC于点G，连接FC，若FG：DF=3：2，请你探究线段CF与线段AF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：综合题,探究型

分析：（1）过点F作FP⊥CD，FQ⊥DE，FR⊥CE，点P，Q，R分别为垂足，连接CF，由DF平分∠EDC，利用角平分线定理得到FP=FQ，根据三个角为直角的四边形为矩形得到ERFQ为矩形，利用矩形的对边相等，等量代换得到RE=FQ=FP，根据三角形ABC为等腰直角三角形得到∠B=∠CAB=45°，确定出三角形APF为等腰直角三角形，得到PF=AP=FQ=ER，进而确定出CR=CP，再由CF=CF，利用HL得到三角形CFR与三角形CFP全等，进而得到FR=FP，∠RCF=∠PCF，等量代换得到FR=FQ，利用角平分线逆定理得到EF为角平分线，得到∠CEF=∠DEF=45°，利用内角和定理及等量代换即可得证；
（2）根据CF与DF为角平分线，求出∠FCD+∠FDC的度数，利用外角性质得到∠GFC=45°，过F作FH⊥BC，过G作GK⊥CF，交FH于点N，由FH与CD平行，得到三角形FGH与三角形GCD相似，由相似得比例列出比例式，表示出GH，HC，进而表示出GC，根据题意得到三角形GKF为等腰直角三角形，得到GK=FK，再利用同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用ASA得到三角形GCK与三角形FNK全等，得到NF=CG，表示出NF，由三角形GHN与三角形FHC相似，得比例，表示出HN，利用勾股定理表示出CF，根据FP=CH，表示出FP，由三角形APF为等腰直角三角形，表示出AF，即可确定出AF与CF的数量关系．

解答：（1）证明：过点F作FP⊥CD，FQ⊥DE，FR⊥CE，点P，Q，R分别为垂足，连接CF，
∵DF平分∠EDC，
∴FP=FQ，
∵∠CED=∠ERF=∠FQE=90°，
∴四边形ERFQ为矩形，
∴RE=FQ=FP，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠CAB=45°，
∵∠FPA=90°，即△APF为等腰直角三角形，
∴FP=PA=FQ=ER，
∵CE=CA，
∴CE-RE=CA-PA，即CR=CP，
在Rt△CRF和Rt△CPF中，

CR=CP CF=CF

，
∴Rt△CRF≌Rt△CPF（HL），
∴FR=FP，∠RCF=∠PCF，
∴FR=FQ，
∵FQ⊥DE，FR⊥CE，
∴∠CEF=∠DEF=

1

2

∠CED=45°，
则∠EFD=180°-∠FED-∠FDE=180°-

1

2

（∠CED+∠CDE）=180°-

1

2

（180°-∠ECD）=90°+

1

2

∠ECD；

（2）解：∵∠FCD+∠FDC=

1

2

（∠ECD+∠EDC）=

1

2

（180°-∠CED）=

1

2

（180°-90°）=45°，
∴∠GFC=∠FCD+∠FDC=45°，
过F作FH⊥BC，过G作GK⊥CF，交FH于点N，
∵FH∥CD，
∴△GHF∽△GCD，
∴

GH

HC

=

GF

FD

=

3

2

，
设GH=3a，HC=2a，则GC=5a，
∵GK⊥FC，∠GFC=45°，
∴∠KGF=45°，KG=KF，
∵∠GCK+∠CGK=∠GCK+∠CFH=90°，
∴∠CGK=∠CFH，
在△GKC和△FKN中，

∠CGK=∠CFH KG=KF ∠CKG=∠FKN=90°

，
∴△GKC≌△FKN（ASA），
∴NF=CG=5a，
∵∠GHN=∠FHC=90°，∠HGN=∠HFC，
∴△GHN∽△FHC，
∴

HN

HC

=

HG

HF

，即

HN

2a

=

3a

HN+5a

，
解得：HN=a或HN=-6a（舍去），
∴CF=

CH2+HF2

=

(2a)2+(6a)2

=2

10

a，
∵矩形FHCP，
∴PF=HC=2a，
∴AF=

2

PF=2

2

a，
∴

FC

FA

=

2 10 a

2 2 a

=

5

，
则FC=

5

FA．

点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线定理及逆定理，勾股定理，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．