Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G，如图①．
（1）求CD的长及∠1的度数；
（2）设DE=x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大？最大值是多少？
（3）当点G刚好落在线段BC上时，如图②，若此时将所得到的△EFG沿直线CB向左平移，速度为每秒1个单位，当E点移动到线段AB上时运动停止．设平移时间为t（秒），在平移过程中是否存在某一时刻t，使得△ABE为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题,全等三角形的判定与性质,直角梯形,解直角三角形

专题：代数几何综合题,压轴题,存在型,分类讨论

分析：（1）过点A作AH⊥BC于点H，构建Rt△AHB和矩形AHCD；通过解直角三角形、矩形的性质求得CD=AH=3

3

．则tan∠CAD=

CD

AD

=

3 3

9

=

3

3

，故∠CAD=30°；然后由平行线的性质推知∠1=∠CAD=30°；
（2）根据△EFG≌△EFD列出y的表达式，从而讨论x的范围，分别得出可能的值即可；
（3）需要分类讨论：以AB为底和以AB为腰的情况．

解答：解：（1）过点A作AH⊥BC于点H．

∵在Rt△AHB中，AB=6，∠B=60°，
∴AH=AB•sinB=3

3

∵四边形ABCD为直角梯形
∴四边形AHCD为矩形
∴CD=AH=3

3

．
∵tan∠CAD=

CD

AD

=

3 3

9

=

3

3

∴∠CAD=30°
∵EF∥AC
∴∠1=∠CAD=30°；

（2）点G恰好在BC上，由对折的对称性可知△FGE≌△FDE，

∴GE=DE=x，∠FEG=∠FED=60°
∴∠GEC=60°
∵△CEG是直角三角形
∴∠EGC=30°
∴在Rt△CEG中，EC=

1

2

EG=

1

2

x
由DE+EC=CD  得x+

1

2

x=3

3

∴x=2

3

；
当0＜x≤2

3

时，

y=S_△EGF=S_△EDF=

1

2

•DE•DF=

1

2

•x•

3

x=

3

2

x2
∵

3

2

＞0，对称轴为y轴
∴当0＜x≤2

3

，y随x的增大而增大
∴当x=2

3

时，y_最大值=6

3

；
当2

3

＜x≤3

3

时，设FG，EG分别交BC于点M、N

∵DE=x，
∴EC=3

3

-x，NE=2(3

3

-x)，
∴NG=GE-NE=x-2(3

3

-x)=3x-6

3

．
又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°，
∴MG=NG•tan30°=

3

3

(3x-6

3

)S△MNG=

1

2

•NG•MG=

1

2

(3x-6

3

)×

3

3

(3x-6

3

)=

3

6

(3x-6

3

)2
y=S_△EGF-S_△MNG=

3

2

x2-

3

6

(3x-6

3

)2=-

3

x2+18x-18

3

．
∵-

3

＜0，对称轴为直线x=-

18

2×(- 3 )

=3

3

∴当2

3

＜x≤3

3

时，y有最大值，
∴当x=3

3

时，y最大值=

4× 3 ×18 3 -182

-4 3

=9

3

．
综合两种情形：由于6

3

＜9

3

∴当x=3

3

时，y的值最大，y的最大值为9

3

；

（3）由题意可知：AB=6，分三种情况：
①若AE=BE，解得t=9
②若AB=AE，解得t=9-2

6

③若BA=BE，解得t=12-

33

．

点评：本题考查直角梯形与三角形的综合，难度较大，解答本题的关键是掌握基础知识，然后将所求的题目具体化，从而利用所学的知识建立模型，然后有序解答．