Question

12．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合）．连接DP交对角线AC于E，连接BE．
（1）证明：∠APD=∠CBE；
（2）试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的$\frac{1}{4}$？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是菱形，即可证得∠CDE=∠APD，△CDE≌△CBE，继而证得结论；
（2）首先连接BE，由等高三角形的面积比等于对应底的比，可证得S_△ADP=$\frac{1}{2}$S_△ABD，继而证得结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠DCE=∠BCE，AB∥CD，
∴∠CDE=∠APD，
在△CDE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠DCE=∠BCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CBE（SAS），
∴∠CBE=∠CDE，
∴∠APD=∠CBE；

（2）P点运动到AB中点时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的$\frac{1}{4}$．
理由：连接BD，
∵P是AB的中点，
∴S_△ADP=$\frac{1}{2}$S_△ABD，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_菱形ABCD，
∴S_△ADP=$\frac{1}{4}$S_菱形ABCD．

点评 此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．