Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E在BC的延长线上，且∠BDE=∠ADC．求证：AB•BD=DE•AD．

Answer 1

证明：∵梯形ABCD中，AB=CD，
∴∠A=∠ADC（1分）
∵∠BDE=∠ADC，
∴∠A=∠BDE（1分）
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBE（1分）
∴△ABD∽△DEB（1分）
∴（2分）
∴AB•DB=AD•DE（1分）
分析：根据已知条件知梯形ABCD是等腰梯形，等腰梯形的两个底角∠A=∠ADC，又由已知条件∠BDE=∠ADC可推知∠A=∠BDE；根据两直线AD∥BC，知内错角∠ADB=∠DBE，∴由相似三角形的判定定理AA判知△ABD∽△DEB；然后由相似三角形的对应边成比例得到，即AB•BD=DE•AD．
点评：本题主要考查了等腰梯形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．在证明AB•DB=AD•DE时，本题是通过证明△ABD∽△DEB，从而得到相似三角形的对应边的比，即AB•DB=AD•DE的比例式的形式．