Question

2．是否存在实数k，使关于x的方程9x²-（4k-7）x-6k²=0的两个实数x₁、x₂满足|$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$|=$\frac{3}{2}$？如果存在，试求出所有满足条件的k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 根据根的判别式，可得两根之和、两根之积，根据根与系数的关系，可用k表示x₂，根据x₂的平方，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：由根与系数的关系，得x₁+x₂=$\frac{4k-7}{9}$，x₁x₂=-$\frac{2{k}^{2}}{3}$．
若k=0时，9x²+7x=0．
解得x₁=0，x₂=-$\frac{7}{9}$，不符合|$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$|=$\frac{3}{2}$
所以x₁x₂＜0，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜0，
所以$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=-$\frac{3}{2}$，x₁=-$\frac{3{x}_{2}}{2}$，
所以x₁+x₂=-$\frac{{x}_{2}}{2}$=$\frac{4k-7}{9}$．
∴x₂=$\frac{14-8k}{9}$．
x₁x₂=-$\frac{3{{x}_{2}}^{2}}{2}$=-$\frac{2{k}^{2}}{3}$，x²=$\frac{4{k}^{2}}{9}$
∴（$\frac{14-8k}{9}$）²=$\frac{4}{9}$k²，
（$\frac{14-8k}{9}$+$\frac{2}{3}$k）（$\frac{14-8k}{9}$-$\frac{2k}{3}$）=0
k₁=7，k₂=1，
根的判别式大于零，即（4k-7）²+216k²＞0成立，
所以存在k₁=1，k₂=7．

点评 本题考查了根与系数的关系，利用了两根之和、两根之积，利用k表示x₂得出关于k的方程是解题关键．